有限交换群

有限交换群

在Sylow定理的帮助下，有限交换群已经可以被分解成Sylow子群的直积了，但实际上会有更好的结论：“有限交换群基本定理”与“不变因子定理”。在本篇的帮助下，我们将完全描述有限交换群（和先前的循环群一样，在同构意义下完全知道其结构）

有限交换群基本定理

有限交换群$G$（$|G|>1$）都可以被唯一分解成“素数幂次”阶循环群的直积：
$$
G=\braket{a_1}\otimes\braket{a_2}\otimes\dots\otimes\braket{a_n}
$$
其中$\braket{a_i}$是$p_i^{\alpha_i}$阶循环群。把$p_i^{\alpha_i}$称为初等因子，$\{p_1^{\alpha_1},\dots p_n^{\alpha_n}\}$称为初等因子组

证明：

先根据之前的分解，将整个群分成各Sylow p子群的直积，之后只需考虑某一个Sylow p子群（记为$G$，$|G|=p^\alpha$）的分解即可

存在性：令$G=\braket{a_1,a_2\dots a_n}$（回顾生成系概念）$a_1\to a_n$有很多种取法，这里取使得$|a_1|+\dots|a_n|$最小的一组$n$元生成系，证明的确$G=\braket{a_1}\otimes \dots\otimes\braket{a_n}$，即找到了一种分解方法，具体见下一节

唯一性：反证法，假设两种表示：$G=\braket{a_1}\otimes\dots \braket{a_r}=\braket{b_1}\otimes\dots \braket{b_r}$，讨论其阶，证明见下一节
$\square$

推论 两个阶大于一的有限交换群同构，当且仅当其初等因子组相同

详细证明

引理

设$a$是群$G$的有限阶元素，$H\leq G$，且$k$是使得$a^k\in H$的最小正整数，则：

1. $a^s\in H$时，$k\mid s$
2. $\braket{a}\cap H\neq e$时，$k<|a|$

证明：
第一条按经典套路：$s=kq+r$，$a^s=a^{kq}a^r\in H$，由于$H$是子群，则找逆元，表示成$a^r=a^s (a^k)^{-q}\in H$，与“最小”矛盾，推出$r=0$
第二条：$a^s\in \braket{a}\cap H,a^s\neq e$，由第一条得$k\mid s$。又由于$a^{|a|}=e\in H$，因此$k\leq|a|$，等号一旦取到，则$|a|\mid s$，这导致$a^s=e$矛盾，所以$k<|a|$

存在性

证明：

令$G=\braket{a_1,a_2\dots a_n}$（回顾生成系概念）$a_1\to a_n$有很多种取法，这里取使得$|a_1|+\dots|a_n|$最小的一组$n$元生成系，想要证明的确$G=\braket{a_1}\otimes \dots\otimes\braket{a_n}$

令$H_t:=\braket{a_1}\otimes\dots\braket{a_{t-1}}\otimes\braket{a_{t+1}}\dots\braket{a_n}$，要证明是直积（参见内直积的三个条件）只有“交集为单位元”一条值得证明，因此，若各个$\braket{a_t}\cap H_t=e$都成立，即可完成证明！

反证法：设对有些$t$而言上式交集为单位元，有些不止是单位元，不妨把它们排列（$\because$交换群）成$\braket{a_i}\cap H_i\neq e,i=1,2\dots r$，及$\braket{a_j}\cap H_j= e,j=r+1,\dots n$。又用$k_i$表示令$a_i^{k_i}\in H_i,i=1\dots r$的最小正整数，不妨把$k_i$最小的数排在第一个，即$k_1$是$k_1\to k_r$中最小的那个

由于单位元必$\in H_i$，由引理得$k_i\mid|a_i|$，结合$|G|=p^\alpha$，知所有元素的阶都是$p$的幂次方形式，因此$k_i$也是，这样，最小的$k_1$一定整除所有$k_i$

根据假设$a_1^{k_1}\in H_1$可表示成$a_2^{s_2}\dots a_n^{s_n}$，但是这表明$a_j^{s_j}$可表示成$a_1\dots a_{j-1},a_{j+1}\dots a_n$元素的幂次的乘积，意味着$\in H_j$。一方面，对于$>r$的那些$j$而言$a_j^{s_j}\in \braket{a_j}\cap H_j=e$，即可在表达式里扔掉，$a_1^{k_1}=a_2^{s_2}\dots a_r^{s_r}$；另一方面，对于$\leq r$的那些$j$而言，$a_j^{s_j}\in H_j$由引理可推出$k_i\mid s_i$，自然$k_1\mid s_i$，可以写为$s_i=k_1q_i$

由此，令$b_1:=a_1 a_2^{-q_2}\dots a_r^{-q_r}$，这样在生成系中可以替代$a_1$而写为$G=\braket{b_1,a_2\dots a_n}$。我们想借此找出矛盾

$b_1^{k_1}=a_1^{k_1}a_2^{-k_1q_1}\dots a_r^{-k_1q_r}=e$，因此$|b_1|\leq k_1$（阶的定义），又对于$a_1$使用引理，得到$k_1<|a_1|$，从而$|b_1|+|a_2|\dots +|a_n|<|a_1|+|a_2|\dots +|a_n|$，这说明生成系选得并不是“使得$|a_1|+\dots|a_n|$最小的”，矛盾！

唯一性

证明：

反证法 设$G=\braket{a_1}\otimes\dots \braket{a_r}=\braket{b_1}\otimes\dots \braket{b_r}$，记前者初等因子组$\{m_1,\dots,m_r\}$后者初等因子组$\{n_1,\dots,n_s\}$，它们中的所有元素都有$p$的幂次方的形式，再不妨取$m_1\geq m_2\dots$以及$n_1\geq n_2\dots$，$r\leq s$

可能性1：$m_1=n_1,\dots ,m_r=n_r$，这样$|G|=m_1\dots m_r=(n_1\dots n_r)(n_{r+1}\dots n_s)$，不可能

可能性2：$m_1=n_1,\dots ,m_{t-1}=n_{t-1}$，但$m_t>n_t$（小于号肯定不可能）构建子群$H:=\{ x^{n_t}|x\in G\}$，易知对于$H$的直积分解也能表示成两种形式：$\braket{a_1^{n_t}}\otimes\dots \otimes\braket{a_r^{n_t}}=\braket{b_1^{n_t}}\otimes\dots\otimes\braket{b_s^{n_t}}$，根据直积因子的定义，$|a_i|=m_i$，以及早在“元素的阶”中就已经知道的结论：$|a_i^{n_t}|=\frac{m_i}{\gcd(n_t,m_i)}$

根据$n_t<m_t<m_{t-1}<\dots$以及它们全是$p$的幂次方形式可知，$|a_i^{n_t}|=\frac{m_i}{n_t},i=1,\dots,t-1$。至于那些$j\geq t$的$b_i^{n_t}$，它们实际上都是单位元（因为根据假设$|b_t|\geq|b_j|$，因此早就变$e$了）

这样，考虑$H$的阶的分解，一方面是：
$$
\frac{m_1}{n_t},\dots \frac{m_{t-1}}{n_t},\frac{m_{t}}{n_t},\frac{m_{t+1}}{\gcd(n_t,m_{t+1})},\dots,\frac{m_r}{\gcd(n_t,m_{r})}
$$
另一方面是：
$$
\frac{m_1}{n_t},\frac{m_2}{n_t},\dots \frac{m_{t-1}}{n_t},1,\dots,1
$$
两者不可能相等，所以可能性2也不可能

最终，只能$r=s$且$m_i=n_i$，这表明建立映射$\varphi: a_i\mapsto b_i$显然是同构，因此只有一种分解法

不变因子定理

任何阶大于一的有限交换群都可以分解为以下循环群的直积：
$$
G=\braket{b_1}\otimes\braket{b_2}\dots\otimes\braket{b_m}
$$
其中，$|b_i|>1$且对$i=1,2\dots,m-1$均有$|b_i| \mid |b_{i+1}|$

这样的$|b_i|$被称为群$G$的不变因子，而全体$\{|b_1|,|b_2|,\dots,|b_m|\}$为群$G$的不变因子组

证明：

存在性：

根据“有限交换群基本定理”知，初等因子可以从排成好几组，每一组内部由小到大：$p_1^{k_{11}}\leq p_1^{k_{12}}\leq\dots \leq p_1^{k_{1s_1}},\dots ,p_r^{k_{r1}}\leq p_1^{k_{r2}}\leq\dots\leq p_1^{k_{rs_r}}$，$p_i$之间是互异质数。且记对应于$p_i^{k_{ij}}$的那个子群为$\braket{a_{ij}}$

下面开始重组：令$m=\max(s_1,\dots ,s_m)$，且$b_m=a_{1s_{1}}a_{2s_{2}}\dots a_{rs_{r}}$；令$b_{m-1}=a_{1,s_1-1}a_{2,s_2-1}\dots a_{r,s_r-1}$，以此类推，自顶向下把初等因子组取完，这样就得到了$G=\braket{b_1}\otimes\braket{b_2}\otimes\dots\otimes\braket{b_m}$

唯一性：

分析存在性的构造过程就能证出：假如有别的方法（以$\braket{c_1}\otimes\dots\otimes\braket{c_s}$记），由于初等因子组都是一样的（有限交换群基本定理保证），这样选取最大的$\braket{c_s}$时别无选择只能取$|c_s|=p_{1s_{1}}p_{2s_{2}}\dots p_{rs_{r}}$，否则初等因子某一组里最大的会落到前面$|c_j|$中去，这样就不能做到$|c_j|\mid |c_s|$了，所以$|c_s|=|b_m|$，阶相同的循环群同构即$\braket{c_s}\cong \braket{b_m}$如此往复下去，次极大也同构，次次极大也同构……
$\square$

推论 两个阶大于一的有限交换群同构，当且仅当其不变因子组相同

例如72阶交换群，分解质因数得到其初等因子组
$$
\begin{align*}
&\{(2,2,2),(3,3)\}\quad\{(2,2^2),(3,3)\}\quad\{2^3,(3,3)\}
\newline

\newline
&\{(2,2,2),3^2\}\quad\{(2,2^2),3^2\}\quad\{2^3,3^2\}
\end{align*}
$$
或不变因子组为：
$$
\begin{align*}
&\{2,6,6\}\quad\{6,12\}\quad\{3，24\}
\newline

\newline
&\{2,2,18\}\quad\{2,36\}\quad\{72\}
\end{align*}
$$
根据“两个阶大于一的有限交换群同构，当且仅当其不变因子组相同”或“两个阶大于一的有限交换群同构，当且仅当其初等因子组相同”可知，共有6种72阶交换群