陪集、群在集合上的作用

陪集、指数

陪集的定义与性质

左陪集的定义：设$H\leq G$，取$a\in G$
则称$aH:=\{ax|x\in H\}$为群$G$关于子群$H$的一个左陪集
则称$Ha:=\{xa|x\in H\}$为群$G$关于子群$H$的一个右陪集

陪集就像是线代中仿射子集的抽象，如仿射子集不是子空间（除了过原点的那个），这里的陪集也不是子群（除了$H$本身）

如同在Done Right中讲仿射子集的时候有几个等价条件（见下图）

左陪集也有平行的等价命题（右陪集同）：

1. $a^{-1}b\in H$

2. $b\in aH$

3. $aH=bH$

4. $aH \bigcap bH\neq \varnothing$

这样，$G$的所有左陪集形成一个分类（$a\in aH$保证了“全都被分”，上述的3、4等价保证了“两类不交”）

左、右陪集对应

设$H\leq G,\quad L:=\{aH| a\in G\},\quad R:=\{Ha| a\in G\}$，则存在一个双射$\varphi: aH\mapsto Ha^{-1} $，说明两种陪集阶相等。

若$aH=bH\Rightarrow a^{-1}b\in H\Rightarrow a^{-1}(b^{-1})^{-1}\in H\Rightarrow H a^{-1}=Hb^{-1}$ well defined!
若$Ha=Hb\Rightarrow ab^{-1}\in H\Rightarrow (a^{-1})^{-1}b^{-1}\in H\Rightarrow a^{-1}H=b^{-1}H$ 这说明$\varphi$ 单。又其满性显然成立，所以是双射

因为是分类，可把群$G$用陪集分解，且一旦有一个左陪集分解$aH\cap bH\cap cH\cap\dots$可立即得到对应的右陪集分解$Ha^{-1}\cap Hb^{-1}\cap Hc^{-1}\cap\dots$，且可知阶有限时$|aH|=|bH|$（构造一个双射$ah\mapsto bh$易知）所以立刻得到：

Lagrange 定理

设$H$是有限群$G$的一个子群，又记关于子群$H$互异的陪集个数为$(G:H)$，则：
$$
(G:H)=\frac{|G|}{|H|}
$$

回想线代的仿射子集，商空间维数也与原空间维数之间有类似关系，比如原空间是$V$，用来分解的是$U$，商空间是$\{v+U|v\in V\}$，这样“商空间维数+$U$的维数=$V$的维数”

推论 有限阶群中的每个元素的阶都整除群的阶!该推论指示素数阶群必为循环群

类似两个空间的和，新空间的维数是两者相加当且仅当是直和。这里也有很像的结论：

$H$与$K$是$G$的两个有限子群，则（不过$HK$并不一定是群！）：
$$
|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}
$$
从而$|HK|=|H||K|$当且仅当$H\cap K=e$

群在集合上的作用

群在集合上作用的定义

定义：$G$是一个群，$M$是一个集合，若有个从：$G\times M=\{(a,x)|a\in G,x\in M\}$到$M$的映射$(a,x)\mapsto a\circ x\in G$且满足以下两条，则称群$G$作用于集合$M$上：

1. $(ab)\circ x=a\circ(b\circ x)\quad \forall a,b\in G,x\in M$

2. $e\circ x=x$ （其中$e$是$G$单位元）

回想Cayley定理的证明，就引入了一个群中元素$a$对应的变换$\varphi_a: x\mapsto a\circ x$，然后定义$T: a\mapsto \varphi_a$，发现$T$实际上是从$G$到$S(G)$的同态映射，这其实就是群$G$在集合$G$上的作用。

由于$G$的一个“作用”指的就是生成一个“定义再集合$M$上的变换”
而且规则1保证了可逆，所以一个“作用”还是双射
此外$S(M)$中的运算是“变换的乘法”，验证$T: a\mapsto \varphi_a$还是同态

总结：群$G$在集合$M$上的作用，本质就是群$G$到对称群$S(M)$的一个同态映射

轨道

定义“轨道”：设群$G$作用在集合$M$上，$x\in M$，则称子集$M_x:=\{a\circ x| a\in G\}$是$x$在群$G$作用下的轨道

各个轨道可以构成集合$M$的分类：

“全都被分”天然成立，“两类不交”可以这样证：若$y\in M_x$，说明$y$一定可通过$x$的某种移动得来，亦即：$y$进行那种逆移动（由于$G$是群，逆移动存在）就能变成$x$
所以，任取$M_x$的元素，都可以从$y$发展得来！（只需$y$先变成$x$，再从$x$变成该元素即可）这说明$M_x\subseteq M_y$……$\Rightarrow M_x=M_y$

eg. 群$G$的子群$H$在集合$G$上的作用，能形成一系列轨道，这些轨道就是右陪集！因此用轨道也能导出Lagrange定理

此外，对于集合$M$中的某一个元素$x$，可能有很多种“作用”都使之不发生移动，这些“作用”构成$x$的稳定子群，即$G_x:=\{a|a\in G, a\circ x=x\}$ (注：这的确是个子群也要验证一下)

这里又能想到不变子空间的概念，当引入$T$算符的不变子空间$U$后，取商空间$\{v+U|v\in V\}$，就可以定义商算子$\tilde{T}: \tilde{T}(v+U)=Tv+U$这里我们也做同样的事情：

设群$G$作用于集合$M$上，$x\in M$，则$|M_x|=(G:G_x)$，即轨道$M_x$与所有左陪集组成的集合$\{aG_x|a\in G\}$之间可以建立双射

定义$\varphi : a\circ x\mapsto aG_x$，满性天然成立。
验证单性按照常规走：若$aG_x=bG_x$则……$b\circ x=a\circ x$
所以$\varphi$ 是双射即所求（中间推导的核心就是“稳定”这一性质，就像商算子的定义良好是“不变”保障的）

结合Lagrange定理：设群$G$作用于集合$M$上，且$G$有限阶，则对任意$x\in M$有：$|G|=|G_x||M_x|$