基本概念
代数运算
定义：有一个法则使得在集合$M$中任意两个有次序的元素，在$M$中都有唯一的元素对应，则该法则是$M$的一个代数运算
含有代数运算的集合称为代数系统
注意：由定义可知，“有代数运算”已经包含了运算的封闭
运算律
值得注意厘清“结合律”与“记号的定义”之间关系：
eg. 证明变换的乘法满足结合律：
$$
\begin{align*}
[(\sigma\tau)\varphi] (x)&=(\sigma\tau)(\varphi(x))=\sigma(\tau(\varphi(x)))
\newline
\newline
[\sigma(\tau\varphi)] (x)&=\sigma(\tau\varphi(x))=\sigma(\tau(\varphi(x)))
\end{align*}
$$
这里用的是“两个变换写在一个括号里”这种记号的定义，采用这种定义以后，可以像这样推导出满足结合律。同样，满足结合律后才可以简记，省掉括号，否则形如$a\circ b\circ c$是无意义的
$\mathtt{Q}:$ 证明：有满足结合律的代数运算的集合，任意$n$个元素无论怎样加括号，结果都相等；若还满足交换律，则任意交换元素的前后次序结果也都相等
$\mathtt{A}:$ 均可用强数学归纳法（沿袭Done Right中的感觉，称之为“降维法”）感觉这种归纳在代数中更有用
分配律：涉及两个代数运算$\circ$与$\oplus$，$M$中任意三个元素都有
$$
a\circ (b\oplus c)=(a\circ b)\oplus (a\circ c)
$$ 则称$\circ$对$\oplus$满足左分配律；
$$
(b\oplus c)\circ a =(b\circ a)\oplus (c\circ a)
$$ 则称$\circ$对$\oplus$满足右分配律
同构与同态
有集合$M$带有代数运算$\circ$以及集合$\bar{M}$带有代数运算$\bar{\circ}$，若$\varphi: a\mapsto \bar{a}\quad b\mapsto \bar{b}$ 总可得到：$a\circ b \mapsto \bar{a} \bar{\circ
}\bar{b}$ 或写为：
$$
\varphi(a\circ b)=\varphi(a)\bar{\circ}\varphi(b)
$$ 则$\varphi$是代数系统$M$到$\bar{M}$的一个同态映射(homomorphism)
如果$M$到$\bar{M}$存在同态满射，称两者同态，$M\sim \bar{M}$（注意前后顺序）
若两者间存在同态双射，则两者同构(isomorphism)，$M\cong \bar{M}$（前后顺序无所谓）
$\mathtt{Q}:$ 同态的好处？
$\mathtt{A}:$ 同态能使前一个集合中的运算律随着映射的方向迁移到后一个集合中，前一个集合中运算有什么律后一个集合中运算就有什么律。（当然结合律要求两组对应的运算都是符合同态要求的）
$\mathtt{Q}:$ 同构的好处？
$\mathtt{A}:$ 同构是一个等价关系（自反、对称、传递）这也是记两者同构时顺序无所谓的原因。同构反映两个系统的精神完全一样，常不加区分，譬如线性代数中的“线性映射”与“线性映射对应的矩阵”：$T$ 与$\mathcal{M}(T)$ 常混用，映射$\mathcal{M}$ 也是我最早接触的同构
等价关系与分类
关系：$M$集合中的一个法则，任二元素都可以确定“是”或“不是”符合该法则
等价关系：满足自反、对称、传递的关系
分类（划分）：把集合$M$中的元素分成若干互不相交的子集，每个这样的子集成为类，类的全体称为一个分类（即要求“全都被分”且“两类不交”）
最经典的：一个分类就是一个等价关系
一方面，分类蕴含等价关系显然；另一方面，等价关系是一个关系，保证所有元素都有归属，“全都被分”，且根据对称与传递推导出每个元素只属于同一类，“两类不交”，证毕
群
非空集$G$含代数运算满足 1. 结合律 2. $G$中含左单位元 3. 所有元素在$G$中都有左逆元， 则是群
现在由这几条又可推出：
- 左单位元也是右单位元，且唯一
- 任一元素的左逆元也是其右逆元，且唯一
这样方便很多，可把“左”从定义中去掉，唯一性也保障了
群中元素的阶：对$a$而言，$n$为使$a^n=e$的最小正整数，则阶$|a|=n$，这样有性质
$a^m=e \Rightarrow n|m$
$|a^k|=\frac{n}{\gcd(k,n)}$
$ab=ba,\gcd(m,n)=1 \Rightarrow |ab|=|a||b|$
交换群$G$中阶最大的元素阶为$m \Rightarrow \forall x\in G, x^m=e$
子群
$H$是$G$的非空子集且对$G$的运算也作成群，则是子群，记为$H\leq G$
现在又可推出：
子群的单位元就是原来群的单位元
子群中某元素的逆元就是在原来群中的逆元
这样简化了验证是否是子群的步骤。
验证子集中任意元素的运算是否封闭，且任一元素$a$其逆元$a^{-1}$在$H$中即可（该步也蕴含了$e$也在$H$中）
进一步简化验证方法：
若$H$是群$G$的非空子集，则$H \leq G$当且仅当：$a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H$
引入集合的乘的定义$AB:=\{ ab|a\in A ,b\in B \}$以及集合的逆$A^{-1}:=\{a^{-1} | a\in A\}$的定义后，还有判别法：
若$H$是群$G$的非空子集，则$H\leq G \iff HH^{-1}=H $
循环群
先定义子集的生成系：若群$G$的一非空子集为$M$，则$G$有很多包含$M$的子群，所有这些子群的交记为$\braket{M}$
注：定义的合理性由“子群的交仍然是子群”保障，这个交可以是至多可数交，甚至是不可数交$\bigcap_{\alpha\in U}$，从定义出发验证即可
这个定义对比线性代数中的$\text{span}$，含义是包含某一组对象的最小的结构（恰好被该组对象撑起的结构），都有性质：一个结构若包含$M$，则一定包含$\braket{M}$
循环群就是由一个元素生成的子群$\braket{a}$，如线性代数中一个向量张成的一维子空间，是最基础的一根骨架。
循环群中元素的形式都是$a^k$，由双向包含可证
有趣的是循环群的同构：
有限阶循环群$\braket{e,a,a^2 \dots a^{n-1}}$与$n$次单位根群$U_n$同构
无限循环群$\braket{\dots a^{-1},e,a,\dots}$与整数加群$\mathbf{Z}$同构
循环群的子群都是循环群，且能够被确定清楚：无限循环群有无限个子群，$n$阶循环群，对$n$的每一个正因数$k$，都有且只有一个$k$阶子群$\braket{a^\frac{n}{k}}$，这样分解因数就能够算出某个循环群的子群个数
变换群
变换是自己映到自己的一个映射，某一个非空集合$M$的全体双射变换（代数运算取变换的乘法）组成一个群叫做对称群，记为$S(M)$（验证一下这样的确是个群），$n$元对称群就是$|M|=n$时的情况，记为$S_n$
由于双射变换可以用列表的方法规定，排列数$n!$也因此是$n$元对称群$S_n$的阶数
双射变换群与非双射变换群泾渭分明：
某变换群若含有一个非双射变换，一定是非双射变换群（这是平庸的，就是定义）；
某集合$M$的变换群$G$一旦有一个双射变换（可削弱为含有一个单/满射）就一定是双射变换群。
后面这句可以简单证明（含单的情况）：
证明恒等变换作为单位元—设$G$的单位元是$\varepsilon$，由单位元定义$(\sigma\varepsilon)=\sigma $，任取$x\in M$作用一下，再由“变换乘法的括号记号”定义得 $\sigma(\varepsilon (x))=\sigma (x)$，再由单射定义$\varepsilon(x)=x$，由于对$\forall x$都成立，由恒等变换定义得 $\varepsilon$ 是恒等变换
证明任意元素都是单射—任取$\tau$，由于是群，找到$\tau^{-1}$，由逆元（早就知左逆=右逆了）定义$\tau\tau^{-1}=\tau^{-1}\tau=\varepsilon$，进入验证单射的常规轨道：$\tau(x)=\tau(y)\Rightarrow \tau^{-1}(\tau(x))=\tau^{-1}(\tau(y))\Rightarrow (\tau^{-1}\tau)(x)=(\tau^{-1}\tau)(y)\Rightarrow \varepsilon(x)=\varepsilon(y)\Rightarrow x=y$ 最后一步用了第一条证出的结论
证明任意元素都是满射—任考察一个元素$\tau$，$\forall x\in M,x=\varepsilon(x)=(\tau\tau^{-1})(x)\Rightarrow x=\tau(\tau^{-1}(x))$，当然$\tau^{-1}(x)\in M$（变换的定义），故任一个$G$中元素都能提供任一个$x\in M$的逆像，故满
（这让人想起曾经学的“算子的单等价于满”，或者前面的“阶相等的有限集合之间的映射，单等价于满”，不过此处会处理无限阶的集合$M$，因此还是把单满都验证了一下）
该命题说明了非双射变换群一个单/满射都不能含有，自然推出集合$M$全体变换对变换乘法作成的不是一个群（除非$M$只有一个元素）
Cayley 定理：任何群都同一个双射变换群同构
证明：
拿出群$G$中的每一个元素（以$a$为例）然后这样定义它对应的一个双射变换 $\varphi_a : x\mapsto ax\quad \text{for } \forall x\in G $，这些$\varphi_i$ （$i$取遍$G$）就构成一个双射变换群，回头看这个“对应”的映射$T: a\mapsto \varphi_a$，又是一个双射，再验证是同态，就得出同构结论。
置换群
接上文，$n$元对称群的一个子群就叫n元置换群，把$M$集合中元素抽象成数码（注意讲了“$n$元”，已经自动躲避了无限阶的情况）
记置换群中的元素（置换）如果是轮着变数码的，称为轮换，$k$-轮换记为 $\sigma=(i_1,i_2,i_3\dots i_k)$，对换就是2-轮换。
注意：一定要从一个圈的图像去想，别和列表法（写成两行上下对应的那种）描述变换的形式搞混了！
引入分解：每个置换都可以表示成不相连轮换的乘积，每个轮换都可以表示成对换的乘积$\Rightarrow$ 每个置换都可以表示成若干对换的乘积
由于某一置换具有唯一的奇偶性（作用一次该置换得到新的数码排序，该排序的逆序数定义的那个奇偶），所以虽然展开成对换的方式有多种但展开后对换个数的奇偶性是固定的
奇置换就是分解为奇数个对换的置换，偶置换就是分解为偶数个对换的置换（比如恒等置换）
推论 一个$n$元置换群中要么全是偶置换，要么奇偶置换各半
证明：
若群$G$除含偶置换外还含奇置换，那随便取一个奇置换$\sigma$，定义一映射$\varphi: \tau \mapsto \sigma \tau \quad \text{for }\forall \tau\in G$，该映射把某一个置换$\tau$变成另一个在$G$中的、奇偶性与之相反的置换（相当于从偶置换的集合映到奇置换的集合中）。
又由于$G$是群，可找到$\sigma^{-1}$（且也为奇置换），说明$\varphi$ 还是双射，这样偶置换的集合与奇置换的集合阶数相等，因此各参半。
$n$元对称群中全体偶置换组成的群称为$n$元交错群，$A_n$
有意思的是，在“全同粒子”的描述中，变（置）换群会有很大用处，对于$n$个粒子的体系，假设可以给各个粒子进行标号，第$i$个粒子测得处在$\psi_i$态，就是一个“数学态”。对这个“数学态”作用一个置换$\sigma_j$，得到新的排列：第$j_i$个粒子测得处在$\psi_i$态，是另外一个“数学态”……可以把整个变换群（$\bigcup_j \sigma_j$）都作用上去，得到$n!$个不同的数学态。但是由于物理中要求粒子是“全同”的，意味着数学上的区分是没有意义的，应当改写成一个统一的形式，比如把一整个变换群“提取”出对称的部分，叫做“对称算子”$S$，其表达式为$S=\frac{1}{n!}\sum_j (\sigma_j)$
