统计学习方法熵的概念信息熵定义对于一个随机变量$X$而言，其可能取值为$x_1,x_2,x_n\dots$，其取到的概率分别为$p_1,p_2,\dots p_n$那么定义其熵为（此处的$\log$底数是2）：$$H(X):=-\sum_{i=1}^n p_i\log p_i$$其含义是什么呢？把这个随机变量想成一个“数据”序列，例如$x_4 x_8 x_3 x_9 x_...

引入问题我曾提了一个问题：为什么在各个“振动问题”中，能量都是和“振幅的平方”有关？ 在机械问题中，振幅的含义是小质量块偏移平衡的位置，有位移的量纲；在光学问题中，振幅的含义是电磁场的振幅，有电场强度的量纲；在电路原理问题中，振幅的含义是电流的幅值，有电流的量纲……振幅各有各的物理含义，彼此不同 为了推导出能流正比于振幅的平方，在机械中用的是机械的动能与势能的公式，在光学中用的是电磁波的坡印...

本篇开始为物理学服务。以下，“幺正变换”=“等距同构”，“厄密”=“自伴” 有限群（线性）表示基本定义群$G$的矩阵表示，指从$G$到一般线性群$GL_n$的同态。即：把群中每个元素都同态地对应到一个方阵：$g\mapsto D(g)$，这些方阵的集合对矩阵乘法作成一个群$D(G)$，称为$G$的群表示。这些方阵代表一个$n$维线性空间到自己的映射，该$n$维线性空间称为...

注：本篇中的“轨道”名词均指代数中的概念，而非物理概念 Shankar_ch.10P249 direct product的定义就是笛卡尔积（笛卡尔积的对象是两个集合）加一个代数运算 至于为何有（10.1.10），得先在新的直积空间中定义元素的加法运算以及标量乘运算（书中没讲，但如何定义是显然的），然后再推出线性…… 把原来Hilbert空间中的算符提升（promote）到一个更“大”的直积...

有限交换群在Sylow定理的帮助下，有限交换群已经可以被分解成Sylow子群的直积了，但实际上会有更好的结论：“有限交换群基本定理”与“不变因子定理”。在本篇的帮助下，我们将完全描述有限交换群（和先前的循环群一样，在同构意义下完全知道其结构） 有限交换群基本定理有限交换群$G$（$|G|>1$）都可以被唯一分解成“素数幂次”阶循环群的直积：$$G=\braket{a_1}\o...

Sylow 定理该内容与上篇Cauchy定理的内容联系紧密，与中间的自同构等没啥关系。本篇相当于Cauchy定理的后续发展 铺垫与引理重陪集 设$H,K$为群$G$的两个子群，令$x\in G$，则称$G$的子集$HxK$为群$G$关于子群$H,K$的一个重陪集 引理1 对群$G$任二重陪集，若$HxK\cap HyK\neq\varnothing$，则必有$HxK= HyK$ 该...

正规同态应用到群时…借助同态，可以判定一个代数结构是否是群： 定理：设$G$是一个群，$\bar{G}$是一个有代数运算的集合，如果$G\sim \bar{G}$，则$\bar{G}$也是群，而且$G$的单位元的像就是$\bar{G}$的单位元，$G$中元素的逆元的像就是该元素像的逆元。 就像一个线性映射从$V\to W$，则$\text{range}T$是$W$的子空间，$\text{nu...

Shankar_ch.8终于来到Feynman路径积分！ 回顾一下作用量定义：$$S[x(t)]:=\int_{t_i}^{t_f} \mathscr{L}(x,\dot{x})dt$$其中$\mathscr{L}:=T-V$P226 上方说趋于$\delta(x-x’)$的原因见书P153的5.1.10式，因为当$t’\to t$对应没有演化的情况，此时$U=...

Shankar_ch.77.1 notes讲清楚了为何需要研究谐振子，对角化的方法使得势函数$V$被解耦。保持$p$仍然是对角化的原因在于$p$的矩阵是一个标量乘矩阵形如：$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2m} & 0 & 0 & 0 & \dots\\ 0 & \frac{1}{2m} & 0 & 0 &am...

陪集、指数陪集的定义与性质左陪集的定义：设$H\leq G$，取$a\in G$则称$aH:=\{ax|x\in H\}$为群$G$关于子群$H$的一个左陪集则称$Ha:=\{xa|x\in H\}$为群$G$关于子群$H$的一个右陪集 陪集就像是线代中仿射子集的抽象，如仿射子集不是子空间（除了过原点的那个），这里的陪集也不是子群（除了$H$本身） 如同在Done Rig...