正规
同态应用到群时…
借助同态，可以判定一个代数结构是否是群：
定理：设$G$是一个群，$\bar{G}$是一个有代数运算的集合，如果$G\sim \bar{G}$，则$\bar{G}$也是群，而且$G$的单位元的像就是$\bar{G}$的单位元，$G$中元素的逆元的像就是该元素像的逆元。
就像一个线性映射从$V\to W$，则$\text{range}T$是$W$的子空间，$\text{null}T$是$V$的子空间一样（线性映射当然是对加法而言的同态映射），这里有群更好的结论：
定理：$\varphi$是群$G$到群$\bar{G}$的一个同态映射（没说满），则：
$H\leq G$时，有$\varphi(H)\leq\bar{G}$，且$H\sim \varphi(H)$
$\bar{H}\leq \bar{G}$时，有$\varphi^{-1}(\bar{H})\leq G$，且$\varphi^{-1}(\bar{H})\sim \bar{H}$
秉持着“线性映射单当且仅当$\text{null}T={0}$”一样的理念，有；
定理：$\varphi$是群$G$到群$\bar{G}$的一个同态映射，则其单当且仅当$\bar{e}$的逆像只有$e$
证明只用把熟知的线代中的证明翻译成群的语言即可；回头想，线代中这个结论只是定理3的一个具体应用，毕竟线性映射的定义里“加性”就是对加法运算同态的意思
正规的定义与判别
定义：设$N\leq G$，则对所有$a\in G$都有$aN=Na$，则称$N$是群$G$的一个正规子群，记为$N \unlhd G$
判断方法：设$N\leq G$，则$N\unlhd G\iff aNa^{-1}\subseteq N\quad \text{for }\forall a\in G$
下面的定理是刚刚的那个定理在正规加入后的进化版：
定理：$\varphi$是群$G$到群$\bar{G}$的一个同态满射，则：
$N\unlhd G\Rightarrow \varphi(N)\unlhd \bar{G}$
$\bar{N} \unlhd \bar{G}\Rightarrow \varphi^{-1}(\bar{N})\unlhd G$
证明套路就是上面的“判断方法”，以第二条为例：任取$a\in G,n\in \varphi^{-1}(\bar{N})$由已知正规的条件……，因为是同态满射，所以映到另外一个群里就是……，由逆像的定义……，所以$ana^{-1}\in \varphi^{-1}(\bar{N})$，即$a\varphi^{-1}(\bar{N})a^{-1}\subseteq \varphi^{-1}(\bar{N})$，$\square$
定理：群$G$的一个正规子群与一个子群的乘积仍然是子群，群$G$的两个正规子群的乘积仍然是正规子群
第一句的证明用到了两个子群$H$与$K$的乘积是子群当且仅当$HK=KH$
第二句的证明更容易，设两个正规子群为$N,K$，因为正规子群意味着$aNK$中三者都可以随便交换位置，显然$aNK=NKa$，得证
正规的优越性
“正规子群之所以重要，是因为这种子群的全体陪集对于子集的乘法又可构成一个新的群”
这对应的就是与线代中“商空间”类比的最后一块拼图，补上之后，所有“商空间”“仿射子集”等相关的命题在群中的相似结论就都已经有了。之后我们就获得了强大的工具—商群。至于有什么用，可以回想线代中的商空间有什么用的问题。答：在数学归纳法时，“降维法”需要假设结论在一个更低维的空间成立，而商空间就是绝妙的候选，一来是它维数低，二来是和原来的空间有千丝万缕的联系。
先找和“仿射子集的加法”一样的命题：
$N\unlhd G$，任取其二陪集，乘积$(aN)(bN)=a(Nb)N=a(bN)N=(ab)N$，所以仍然是陪集，这样“集合乘法”就可以定义为“存放陪集的结构”中的代数运算，使得这个结构关于这种运算封闭，此外，结合律、单位元、逆元等也易验证，商群自然出现了：
定义 群$G$的正规子群$N$的全体陪集关于陪集的乘法作成一个群，称为商群，记为$G/N$
商群的阶就是陪集的个数$(G:N)$，因此$|G/N|=|G|/|N|$，该结论的一个应用是下面一小节：
Cauchy 定理
设$G$是一个$pn$阶有限群，$p$是一个素数，则$G$有$p$阶元素
为了证明该定理，先证明$G$交换时的情况：
弱化版Cauchy定理
设$G$是一个$pn$阶有限群，$p$是一个素数，则$G$有$p$阶元素
证明：对数$n$进行强归纳法，有$p$阶元素等价于找到阶能被$p$整除的元素。
任取一个元素$a,|a|=m$，若$m$被$p$整除直接结束；若不是，那么$\gcd(p,m)=1$，令$N=\braket{a}$，是正规子群（毕竟$G$都交换了）$m|pn\Rightarrow m|n$。
$G/N$ 的阶由前述公式是 $pn/m$，被降到了$\frac{n}{m}< n$，可以用归纳假设，得到$G/N$中有一个$p$阶元$bN$，所以$b$的阶一定能被$p$整除 $\square$
推论 $pq$（两不同质数）阶交换群是循环群
证明：直接由弱化版的Cauchy定理得到存在一个$p$阶元素和一个$q$阶元素，但该两元素的乘积是$pq$阶的（这点用了交换性！所以交换的条件必不可少），已经撑满了
正规化子与类方程
为证明加强版的Cauchy定理，新引入概念：
群$G$的一个非空子集$S$，其正规化子$N(S)$定义为$\{g|g\in G, gS=Sg \}$
满足：存在$g\in G$ 使得 $H=gSg^{-1}$的集合$H$，称$S$的共轭子集。共轭是等价关系，这些共轭子集作成的等价类划分了$G$
性质：
$N(S)\leq G$（易证）
在$S\leq G$时，有$S\unlhd N(S)$ （$\forall b\in N(S)$有$bS=Sb$，即$bSb^{-1}=S$，即说明正规）
$G$中与$S$共轭的子集数 $=(G:N(S))$（可构造$\varphi: gSg^{-1}\mapsto gN(S)$双射，将任一与$S$共轭的子集$gSg^{-1}$与一个关于$N(S)$的陪集相联系）
性质3的陈述即：“集合$S$正规化子的阶数”乘以“集合$S$所在共轭类的阶数”等于$|G|$
当$S=\{ a\}$，即单元素集合时，$N(S)$被称之为元素$a$的中心化子，记为$C(a)$
例如，群中心里的元素，其中心化子就是整个群，而其共轭类中只有它自己，乘积就是$|G|$，验证了性质3。同理，一个正规子群的正规化子自然是整个群，而由定义又得正规子群的共轭类中也只有它自己，验证了性质3
类方程 把群$G$用“元素的共轭类”这一等价关系划分开。某类“与$a$元素共轭的元素个数”就是“$G$中与${a}$共轭的子集数”，即$(G:N(\{a\}))=(G:C(a))$，这样自然导出：
$$
|G|=|C(G)|+\sum_{a\notin C(G)} (G:C(a))
$$
这里已经把所有“共轭类只有本身”的元素单独拎出来了，因为它们恰组成了群的中心$C(G)$
加强版Cauchy定理
证明：仍用$n$的强归纳
任取一个$a\in G,|a|=m$，若$p\mid m$直接结束
否则，考虑类方程，有两种可能：$p\mid|C(G)|$或$p\nmid|C(G)|$
如果$p\mid|C(G)|$，由于$C(G)$是交换群，那么直接回归到弱化版Cauchy定理，结束
如果$p\nmid|C(G)|$，由于类方程右侧的整个求和是被$p$整除的，说明有某个指数$(G:C(b))$是不被$p$整除的，那么$|C(b)|=pn/(G:C(b))=pk$，其中$k<n$达到归纳条件，用归纳假设，$C(b)$有个$p$阶元素
$\square$
主线之外…
Hamilton 群
定义： 每个子群都是正规子群的非交换群称为Hamilton群
单群
定义：阶大于一且只有平凡正规子群的群，称为单群
定理：有限交换群$G$为单群$\iff |G|$是素数
证明：
一方面，如果阶是素数，子群都只有平凡的，更不用说正规子群。
另一方面，若是单群，取一个非单位元的元素，若其阶$<|G|$，由它可生成一个正规子群（因为大背景是可交换），矛盾了，说明取的该元素一定阶$=|G|$。最后讨论$|G|$：若$|G|$不为素数，由Cauchy定理可以找到更小素数阶的元素，又矛盾，所以$|G|$为素数。
群同态
群与其商群同态：
定理：设$N$是群$G$的任意正规子群，则有$G\sim G/N$
证明：取同态满射（自然同态）$\tau:\quad a\mapsto aN$即可
若第一个群与第二个群同态，则第二个群在同构意义下是第一个群的商群：
群同态基本定理：设$\varphi$是群$G$到群$\bar{G}$的一个同态满射，则$\ker\varphi \unlhd G$，且$G/\ker\varphi \cong \bar{G}$
证明：引用正规子群的同态映射逆像正规这一结论，可知单位元的逆像（即$\ker\varphi$）也是正规子群，且定义映射$\sigma : aN\mapsto \varphi (a)$(这就是线代商空间那一节里的映射$\tilde{T}: v+\ker T\mapsto Tv$！)而该$\sigma$是同态且是双射
结合两者：一个群能而且只能与它的商群同态
推论 如果$G\sim \bar{G}$，则$|\bar{G}|$整除$|G|$
定理 设$\varphi$是群$G$到群$\bar{G}$之间的一个同态满射，则$G$的所有含$\ker\varphi$的子群与$\bar{G}$的所有子群之间可以建立一个保持包含关系的双射
先有引理：
设$\varphi$是群$G$到群$\bar{G}$的同态映射（没说满），$H\leq G$，且$\ker\varphi\subseteq H$，则$\varphi^{-1}[\varphi(H)]=H$
证明：
由集合与映射引入时就学过的结论$H\subseteq\varphi^{-1}[\varphi(H)]$，仅需证另一侧包含，进入证明模版：
$\forall x\in\varphi^{-1}[\varphi(H)]\Rightarrow \varphi(x)\in \varphi(H)\Rightarrow \varphi(x)=\varphi(h),h\in H$，考虑$G$中元素$h^{-1}x$的像： $\varphi(h^{-1}x)=\varphi(h^{-1})\varphi(x)=\varphi(h)^{-1}\varphi(x)=\bar{e}\Rightarrow h^{-1}x\in\ker\varphi\Rightarrow h^{-1}x\in H\Rightarrow x\in H$，证毕
原定理证明：
记$G$所有含$\ker\varphi$子群的集合为$M$，记$\bar{G}$所有子群的集合为$\bar{M}$，则$M\to \bar{M}$的映射$f:\quad H\mapsto \varphi(H)\quad \text{for }\forall H\in M$ 即为所求，原因如下
满性：任取$\bar{H}\in \bar{M}$，则$\varphi^{-1}(\bar{H})$包含$\ker\varphi$（显然），且由该定理保障$\varphi^{-1}(\bar{H})\leq G$，所以的确$\in M$。但$\varphi^{-1}(\bar{H})$究竟是否是$\bar{H}$在$f$之下的逆像呢？使用早在学习集合与映射时就有的结论：“当$\varphi$为满射时，$\varphi[\varphi^{-1}(\bar{H})]=\bar{H}$”，这样，$f(H)=\bar{H}$，证明$f$是满的
单性：取$H _ 1,H _ 2\in M$，若$f(H _ 1)=f(H _ 2)$，则$\varphi(H _ 1)=\varphi(H _ 2)\Rightarrow \varphi^{-1}[\varphi(H _ 1)]=\varphi^{-1}[\varphi(H _ 2)]\Rightarrow H_1=H_2$最后一步用了引理。
保持包含关系：只用证$\varphi(H _ 1)\subseteq\varphi(H _ 2)\Rightarrow H_1\subseteq H_2$，而这一步只需两边同时作用$\varphi^{-1}$，并用引理就达成了
群同构
第一同构定理
设$\varphi$是群$G$到群$\bar{G}$的同态满射，又$\ker \varphi\subseteq N\unlhd G,,\bar{N}=\varphi(N)$，则
$$
G/N\cong \bar{G}/\bar{N}
$$
证明：
由正规与同态的定理知$\bar{N}\unlhd \bar{G}$，令$\tau: xN\mapsto \varphi(x)\varphi(N)$，该$\tau$即为所求的同构映射
以下两个定理都较难：
第二同构定理
设群$G$有$H\leq G$，$N\unlhd G$，则$H\cap N\unlhd H$，且：$HN/N\cong H/(H\cap N)$
证明：
由于“正规子群与别的子群乘积仍然是子群”，$HN\leq G$，构造$\varphi: x\mapsto xN (\forall x\in H)$，是一个$H\to HN/N$的同态满射，核为$H\cap N$，由群同态基本定理可知，$HN\unlhd H$且$HN/N\cong H/(H\cap N)$
第三同构定理
设$G$是群，$N\unlhd G$，$\bar{H}\leq G/N$，则：
存在唯一$H$满足$N \subseteq H\leq G$，使得$\bar{H}=H/N$
当$\bar{H}\unlhd G/N$时，存在唯一的$H\unlhd G$使$\bar{H}=H/N$，且$G/H\cong (G/N)/(H/N)$
该定理说明商群$G/N$的子群仍是商群形如$H/N$，且商群$G/N$的正规子群有更好的结果：该正规子群是$G/N$的正规子群！
自同构
某一个含有代数运算（封闭性保证）的集合，其全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为其自同构群
证明：若该代数运算记为$\cdot$，且$\sigma$与$\tau$是两个自同构，则对集合中的任二元素：
$\sigma\tau(a\cdot b)=\sigma[\tau(a\cdot b)]=\sigma[\tau(a)\cdot\tau(b)]=\sigma\tau(a)\cdot \sigma\tau(b)$
其中第一个等号用了变换乘法的记号定义，第二个等号用了$\tau$是同态，且由于“自”保证了再作用一个$\sigma$的合理性，第三个等号用了$\sigma$是同态，至此封闭性得证
结合律不用证，因为变换的乘法满足结合律早证过了；单位元是恒等变换显然
逆元：由于自同构是双射，因而有逆变换，由曾经集合与映射的知识得$\sigma\sigma^{-1}(x)=\sigma^{-1}\sigma(x)=x$，来辅助验证$\sigma^{-1}$也是同态：$\sigma^{-1}(a\cdot b)=\sigma^{-1}[\sigma\sigma^{-1}(a)\cdot\sigma\sigma^{-1}(b)]$用以下$\sigma$是同态，上式$=\sigma^{-1}(a)\cdot\sigma^{-1}(b)$
$\square$
群$G$的全体自同构关于变换的乘法作成一个群（易验证），称为群$G$的自同构群，记作$\text{Aut} G$
内自同构是自同构的一种，形式为：$\tau_a: x\mapsto axa^{-1}$
群$G$的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为群$G$的内自同构群，记作$\text{Inn} G$
有意思的是$\text{Inn} G\unlhd\text{Aut} G$
证明：
$\sigma \tau_a\sigma^{-1}(x)=\sigma (a\sigma^{-1}(x)a^{-1}))=\sigma(a)x\sigma(a^{-1})=\tau_{\sigma(a)}(x)$
其中第二个等号用了$\sigma$是同态
当把$\text{Inn} G$施加到$G$上时，若子群$N$是不变的，即$\tau_a(N)\subseteq N\text{ for }\forall a\in G$，但这就是$aNa^{-1}\subseteq N$，即：$G$的正规子群就是在$\text{Inn}G$任何元素作用下都不变的子群
同样定义：
$G$的特征子群就是在$\text{Aut}G$任何元素作用下都不变的子群
$G$的全特征子群就是在$G$的任何自同态映射作用下都不变的子群
包含关系： 全特征子群$\subseteq$特征子群$\subseteq$正规子群
定理 令$C(G)$代表群的中心，则$\text{Inn}G\cong G/C(G)$
证明：易验证$\varphi: a \mapsto\tau_a$是$G\to \text{Inn} G$的同态满射，且$\text{Inn} G$中的单位元为恒等自同构，也就是群中心的元素$c\in C(G)$产生的内自同构$\tau_c$，即$\ker\varphi=C(G)$，因此由群同态基本定理可知结论
