Topology“深刻的定理” Urysohn 引理定理 （Urysohn引理） 设有个正规空间$X$，其中两个无交闭集$A$和$B$，$[a,b]$是实直线上的一个闭区间，则存在一个连续映射$f:X\to [a,b]$，使得对于所有$x\in A$都有$f(x)=a$，对于所有$x\in B$都有$f(x)=b$ 证明：首先用个线性双射便可以说：不妨，取$[a,b]&...

Topology可数、分离可数性下面只讲更强的第二可数（第一可数略），第二可数非常强，有些度量空间甚至不是第二可数的 定义 （可数性）若拓扑空间$X$具有可数基，则称$X$满足第二可数性公理，或称$X$是第二可数的 定义 （稠密）拓扑空间$X$的子集$A$，若满足$\overline{A}=X$，则被称为是稠密的， 定理 （第二可数继承）第二可数空间的子空间是第二可数的 证明：注...

Topology之前讲了那么多抽象的结构，本次就来见一下实物图吧 当然，实物图也不完全是真实具象的，我们的讨论仍然基于提取出的实轴的一些抽象特征 本篇跳过，也不会有任何抽象层面的影响 实物图—实轴当序拓扑遇上连通实轴上的连通性大家都很熟了，只不过在现在来看，能看得更加“抽象”一点：原先想的是实数、有理数等等具体的对象，现在想的全是序等抽象的结构！ 定义 （线性连续统）元素多于一个的全序集$L...

Topology“深刻的大定理” Tychonoff 定理在积拓扑下，紧致空间的任意积还是紧致的 两个引理定理 （含$\mathscr{A}$且有限交性质的极大集族$\mathscr{D}$）一个集合$X$，记$\mathscr{A}$是$X$的一个具有有限交性质的子集族。那么，存在一个具有有限交性质的子集族$\mathscr{D}\supset \mathscr{A}$，使得任何真包含$\...

TopologyHausdorff、连通、紧致本篇讨论拓扑不变量，所谓拓扑不变量，就是互相同胚的空间中保持一致的一个性质。这个性质的用场是，如果你想证明$X$和$Y$空间是“不同”的（在同胚意义下），该怎么说明呢？用同胚映射不容易，因为万一同胚映射真的存在，只不过你没找到而已。拓扑不变量可以来帮忙，有哪个拓扑不变量，在$X$中是这样在$Y$中却是那样，就证明了两者必定不同胚！ Hausdor...

Topology序、积、商拓扑在本篇中，我们将引入一些新的结构：序、笛卡尔积……手中能用的上的工具是第一篇中讲述的所有概念与性质 常用技术提示： $f^{-1}(\bigcap A_\alpha)=\bigcap f^{-1}(A_\alpha)$，$f^{-1}(\bigcup A_\alpha)=\bigcup f^{-1}(A_\alpha)$ $(f\circ...

Topology拓扑基本概念这些例子解开了数学家们心中的谜：“一个集合和一扇门究竟有什么不同呢？” 拓扑的基定义 (拓扑) 集合$X$上的拓扑（topology）指：有一个子集构成的集合$\mathscr{T}$，开集（open sets）定义为它其中的元素，满足： $\varnothing$和$X$本身是开集 开集的有限交仍是开集 开集的任意并仍是开集 定义了拓扑的集合，就升格...