Topology

序、积、商拓扑

在本篇中，我们将引入一些新的结构：序、笛卡尔积……手中能用的上的工具是第一篇中讲述的所有概念与性质

常用技术提示：

1. $f^{-1}(\bigcap A_\alpha)=\bigcap f^{-1}(A_\alpha)$，$f^{-1}(\bigcup A_\alpha)=\bigcup f^{-1}(A_\alpha)$

2. $(f\circ g)^{-1}(A)=g^{-1}(f^{-1}(A))$

3. $p^{-1}(p(A))\supset A$，当单射时取等

4. $p(p^{-1}(A))\subset A$，当满射时取等

如下，不加说明时，一个拓扑空间的子空间，均取子空间拓扑！

序拓扑

对于含有“序关系$<$”的集合而言，可以借用序这个结构来定义拓扑

首先来明确几个记号吧！全序集$X$中，$(a,b)$这个记号就是$\set{x\in X: a<x<b}$的意思，名字叫做区间，还有$(a,b]$，$[a,b)$，$[a,b]$这几种区间，定义方式都和你想象的一样

定义 （序拓扑）
含有多于一个元素的全序集$X$，设$\mathscr{B}$为以下这些集合形成的族，则$\mathscr{B}$是一个基，它生成的拓扑叫序拓扑：

1. 形如$(a,b)$的区间

2. 形如$[a_0,b)$的区间，其中$a_0$是$X$中的最小元（若存在）

3. 形如$(a,b_0]$的区间，其中$b_0$是$X$中的最大元（若存在）

当然，这个集合配不配称做“基”，还需验证：

1. $\forall x\in X$，若非最小/最大元（或$X$不存在最小/最大元），自然能找到比它更小的和更大的$(a,b)$，包含它；若刚好$x$是最大/最小，那显然用2、3型的区间即可

2. 两个成员之交，要么是空集，要么还是上面几种之一

$\square$

定义 （射线）
全序集$X$中某个元素$a$，则$a$决定的射线（ray）可以指如下两种开射线：$(a,\infty)=\set{x:x>a}$，$(-\infty,a)=\set{x:x<a}$；以及如下两种闭射线：$[a,\infty)=\set{x:x\geq a}$，$(-\infty,a]=\set{x:x\leq a}$

定理 （开射线组成子基）
这些射线当做子基，调用“子基生成的拓扑”的方法，得到的拓扑就是序拓扑没错！

先回顾子基定义，显然这些射线有资格当子基。下面证明命题：

1. 一方面，所有的开射线，其实都是“序拓扑意义下的开集”，事实上，$(a,\infty)=\bigcup\limits_x (a,x)$。所以，有限交啊、再任意并啊等等都逃不出去，仍是在序拓扑意义下的开集，故：以开射线为子基生成的拓扑比序拓扑粗糙

2. 另一方面，所有的序拓扑基元素，都可以被开射线之交表示，因此开射线有限交后，就涵盖了序拓扑的基元素，因此：以开射线为子基生成的拓扑比序拓扑精细

定义 （全序集的凸子集）
全序集$X$有个子集$Y$，若$Y$中一旦有一序对$a<b$，则$X$中的区间$(a,b)$都在$Y$内，就称$Y$是凸的

定理 （凸子集，序拓扑就是子空间拓扑）
全序集$X$取了序拓扑，$Y$是$X$的一个凸子集，那么$Y$中取序拓扑，或者，$Y$取从$X$诱导出的子空间拓扑，是一样的

双向包含：

1 证序拓扑精细于子空间拓扑：

• 首先，考察原空间的子基，取一个代表$(a,\infty)$（别的也一样），这个代表在$Y$中表现为$(a,\infty)\cap Y = \set{x\in Y:x>a}$，如果$a\in Y$，这不就是$Y$中由$a$决定的开射线的定义嘛；若$a\notin Y$，则结果为$\varnothing$或者$Y$本身（这是用凸保证的！）。因此结论是，原空间的子基在$Y$中的限制是$Y$中的射线！
• 这样一来，子空间拓扑的基元素：$(a,b)\cap Y = ((a,\infty)\cap Y) \bigcap((-\infty,b)\cap Y)$，就被表示成形如两个$Y$中射线之交，调用定理（射线组成子基），就知道子空间拓扑的基元素，果然也是$Y$的序拓扑基元素之一呀！

2 证子空间拓扑精细于序拓扑：

• 把握住序拓扑的子基，刚才那个方向的第一个bullet point已说明$Y$中的开射线都是$X$中一个开射线与$Y$的交集，这不就形如“开$\cap Y$”了嘛！因此，这些子集都是子空间拓扑意义下的开集，而序拓扑的基就是子基元素有限交再任意并，逃不出去，仍是子空间拓扑意义下的开集

积拓扑

在这，我们不关心箱拓扑，只关心积拓扑，防止混淆视听：

以下，记号$\pi_\beta$就代指投影映射，将笛卡尔积空间的元素，映到第$\beta$个坐标，$\pi_\beta :\prod X_\alpha \to X_\beta$

定义 （积拓扑）
积拓扑，是这样定义的，首先，记号$S_\beta = \set{\pi_\beta^{-1}(U_\beta):U_\beta \text{ is open in } X_\beta}$，
然后，记$S=\bigcup\limits_{\beta\in J}S_\beta$。用这个$S$作为子基，生成的拓扑就是积拓扑！

基元素不就是子基元素的有限交嘛！所以该拓扑中的一个典型基元素是：$B = \pi^{-1} _ {\beta _ 1} (U _ {\beta _ 1}) \cap \pi^{-1} _ {\beta _ 2} (U _ {\beta _ 2})\cap \dots \cap \pi^{-1} _ {\beta _ n} (U _ {\beta _ n})$

因此，这个基元素形如$\prod U _ \alpha$，其中$n$个元素是各自$X _ \alpha$中的开集$U _ {\beta _ i}$（根据投影映射定义）。其余的呢？当$\alpha\notin \beta _ 1,\beta _ 2,\dots,\beta _ n$时，$U _ \alpha$就是$X _ \alpha$本身

“均是开集，且除了有限个外都等于$X_\beta$本身”这个形式很重要，记住！

定理 （子空间拓扑和积拓扑） 对于每个$\alpha\in J$，$A_\alpha$是$X_\alpha$的一个子空间，则在$\prod X_\alpha$采取积拓扑时：$\prod A_\alpha$自己采取积拓扑，或者，$\prod A_\alpha$采取从$\prod X_\alpha$继承出来的子空间拓扑，都是一样的

这个表述很拗口啊，不如给个直观的例子：
$A$是$X$的子空间，$B$是$Y$的子空间，则$A\times B$的积拓扑，和它从$X\times Y$那里继承的子空间拓扑是一样的！

证明（General Case）：证明很长的原因是语言不得不绕来绕去的，本质其实很简单

1 “自己采取积拓扑”精细于“继承下来的子空间拓扑”

• 直接从$\prod X_\alpha$继承子空间拓扑时，根据第一篇中的定理（子空间拓扑的基），可知基元素形如$\prod U_\alpha \cap \prod A_\alpha$。其中，$\prod U_\alpha$是$\prod X_\alpha$的一个基元素，满足有限个以外都有$U_\beta =X_\beta$这一条件

• 而这个交呢，根据定义就得$=\prod (U_\alpha\cap A_\alpha)$，观察一下，每一个$U_\beta\cap A_\beta$，不就是$A_\beta$这个空间中的开集嘛！而且除有限个外，均是$X_\beta \cap A_\beta= A_\beta$这种的

• 因此，这个方向证完了！总结成一句话：继承下来的子空间拓扑的基，都形如$\prod (U_\alpha\cap A_\alpha)$开集之笛卡尔积，且除了有限个外都是$A_\beta$，这不正好是“自己采取积拓扑”的基嘛！

2 “自己采取积拓扑”粗糙于“继承下来的子空间拓扑”

• 自己采取积拓扑的话，$\prod A_\alpha$中的基元素会长啥样？就是$\prod V_\alpha$这样，其中$V_{\beta}$除有限个外，都是$A_\alpha$本身
• 来看看那有限个吧！它们都是$A_\alpha$中开集，因此（别忘了默认用子空间拓扑）形如$V_{\beta_i}=U_{\beta_i}\cap A_{\beta_i}$
• 再看看那无限个，很容易啊！因为它们就是$A_\alpha$，把它们写成$A_\alpha\cap X_\alpha$
• 结合上两个bullet point，“自己采取的积拓扑”的基形如$\prod (U_\alpha\cap A_\alpha)=\prod U_\alpha \cap \prod A_\alpha$，这就是$\prod X_\alpha$中的基元素（快速想一下$\prod U_\alpha$的确合格）和$\prod A_\alpha$之交，正是“继承下来的子空间拓扑”的基！

定理 （闭包之笛卡尔积等于笛卡尔积之闭包）
对每一个$\alpha$均有$A_\alpha\subset X_\alpha$，则对$\prod X_\alpha$取积拓扑后，有$\prod\overline{A_\alpha}=\overline{\prod A_\alpha}$

证明：

1. 先证$\prod\overline{A_\alpha}\subset \overline{\prod A_\alpha}$，任取一个$x\in\prod\overline{A_\alpha}$，随便找一个含有$x$的基元素$\prod U_\alpha$。由于$x_\alpha\in \overline{A_\alpha}$，而且$x_\alpha\in U_\alpha$，回顾第一篇中的定理（借用基描述闭包），可知$U_\alpha\cap A_\alpha \neq \varnothing$，这对于所有$\alpha$都成立！于是，任取的一个$\prod U_\alpha$都有：$\prod U_\alpha\cap\prod A_\alpha\neq \varnothing$，根据定理（借用基描述闭包），得$x\in \overline{\prod A_\alpha}$

2. 再证$\prod\overline{A_\alpha}\supset \overline{\prod A_\alpha}$，任取$x\in \overline{\prod A_\alpha}$，任取一个包含$x_\beta$的开集$V_\beta$，由于$\pi_\beta^{-1}(V_\beta)$是在积拓扑中的开集，而且含$x$，因此根据第一篇的定理（借用开集描述闭包）知，$\pi_\beta^{-1}(V_\beta)\cap \prod A_\alpha\neq \varnothing$，我们就盯着这个式子中的$\beta$分量看，发现$V_\beta\cap A_\beta\neq\varnothing$，于是定理（借用开集描述闭包）说明，$x_\beta\in \overline{A_\beta}$，所有$\beta$都有这个关系，因此$x\in \prod \overline{A_\alpha}$

定理 （总体连续当且仅当分量连续）
映射$f:A\to \prod\limits_{\alpha\in J} X_\alpha$被定义为$f(a)=(f_\alpha(a))_{\alpha\in J}$，而对于每一个$\alpha$，均有$f_\alpha: A\to X_\alpha$，设$\prod X_\alpha$取积拓扑，则$f$连续当且仅当每一个$f_\alpha$连续

证明：

1. 若$f$连续，欲证$f_\alpha$连续。易知$\pi_\beta$是连续的，原因在于$\pi_\beta^{-1}(U_\beta)$根据定义是子基成员，当然是开的！则$f_\alpha = \pi_\alpha\circ f$，连续函数之复合连续

2. 若$f_\alpha$连续，欲证$f$连续。根据第一篇的定理（连续？看基/子基），只用对子基动刀！则任取一个子基元素$\pi_\beta^{-1}(U_\beta)$，待考察的就是其逆像$f^{-1}(\pi_\beta^{-1}(U_\beta))$，有趣的是，$f_\beta = \pi_\beta \circ f$，而逆像对于函数的复合又有良好的性质，即$f^{-1}(\pi_\beta^{-1}(U_\beta))=f_\beta^{-1}(U_\beta)$天然成立，因此是开的

商拓扑

以下仅仅阐述相关定义，原因在于商拓扑相关的定理十分较难证，且现阶段还不知道该用在哪，所以先放一放

定义 （商映射）
两个拓扑空间$X$和$Y$，首先，$p:X\to Y$得是满射；其次，$Y$中的子集$U$是开集，当且仅当$p^{-1}(U)$是开集，满足这样性质的$p$被称为商映射

定义 （商拓扑）
$X$是一拓扑空间，$A$是一普通集合。手头的情况是，我们已有个$p:X\to A$是满的了；现在，我们构造$A$中的拓扑，使$p$成为商映射。这个过程中构造出来的拓扑被称为商拓扑

定义 （商空间）
设$X$是一拓扑空间，$X^\ast$是$X$的一个分拆（$X^\ast$中元素是$X$的子集），满射$p:X\to X^\ast$把$X$中的每一点映到$X^\ast$中包含它的那个元素。这个$p$已经是满射了哦，而$X^\ast$是一个普通集合，现在我们定义个$X^\ast$上的拓扑$\mathscr{T} _ { X^\ast}$，把$p$变成商映射，这样得到的$(X^\ast,\mathscr{T} _ {X^\ast})$就叫商空间

解释一下这几个定义。个人认为可先看商拓扑的定义，然后这样去想：我已经有一个$X$的拓扑空间了，也有一个$p$映射。现在呢，想在$A$上定义一个拓扑，使得$A$里面的开集越多越好，同时又要保证$p$是连续的，这样弄出来的拓扑就是商拓扑！

总结：商拓扑是使得已有映射连续的最精细的拓扑！商空间中的拓扑是使得自然映射连续的最精细的拓扑！

这个自然映射，或者说，$X^\ast$的构造，就是在原先的集合上定义一个等价类，等价类相当于把一些点黏连起来，这就是有意思的服务于该几何操作的观点

度量拓扑

度量空间大家都知道，度量拓扑就是在度量空间中，以全体$\epsilon$球为基，生成的拓扑就是啦，这个拓扑大家早就接触了，在数学分析中就已经讨论过基础性质，此略