正规同态应用到群时…借助同态，可以判定一个代数结构是否是群： 定理：设$G$是一个群，$\bar{G}$是一个有代数运算的集合，如果$G\sim \bar{G}$，则$\bar{G}$也是群，而且$G$的单位元的像就是$\bar{G}$的单位元，$G$中元素的逆元的像就是该元素像的逆元。 就像一个线性映射从$V\to W$，则$\text{range}T$是$W$的子空间，$\text{nu...

Shankar_ch.8终于来到Feynman路径积分！ 回顾一下作用量定义：$$S[x(t)]:=\int_{t_i}^{t_f} \mathscr{L}(x,\dot{x})dt$$其中$\mathscr{L}:=T-V$P226 上方说趋于$\delta(x-x’)$的原因见书P153的5.1.10式，因为当$t’\to t$对应没有演化的情况，此时$U=...

Shankar_ch.77.1 notes讲清楚了为何需要研究谐振子，对角化的方法使得势函数$V$被解耦。保持$p$仍然是对角化的原因在于$p$的矩阵是一个标量乘矩阵形如：$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2m} & 0 & 0 & 0 & \dots\\ 0 & \frac{1}{2m} & 0 & 0 &am...

陪集、指数陪集的定义与性质左陪集的定义：设$H\leq G$，取$a\in G$则称$aH:=\{ax|x\in H\}$为群$G$关于子群$H$的一个左陪集则称$Ha:=\{xa|x\in H\}$为群$G$关于子群$H$的一个右陪集 陪集就像是线代中仿射子集的抽象，如仿射子集不是子空间（除了过原点的那个），这里的陪集也不是子群（除了$H$本身） 如同在Done Rig...

基本概念代数运算定义：有一个法则使得在集合$M$中任意两个有次序的元素，在$M$中都有唯一的元素对应，则该法则是$M$的一个代数运算 含有代数运算的集合称为代数系统 注意：由定义可知，“有代数运算”已经包含了运算的封闭 运算律值得注意厘清“结合律”与“记号的定义”之间关系： eg. 证明变换的乘法满足结合律： $$\begin{align*} [(\sigma\tau)\varphi] (...

Shankar_ch.4值得注意的是，在Postulate II 中，动量算子在坐标空间的“矩阵”其中元素为：$\bra{x}P\ket{x’}=-i\hbar \delta’(x-x’)=-i\hbar\frac{d}{dx}\delta(x-x’)=i\hbar\frac{d}{dx’}\delta(x-x’)$，要小心求导是对$x$还是$x’$ Ex 4....

Quantum Mechanics Done Right中曾说物理学家喜欢在内积的定义中采用第二个位置的加性和齐性，原来是因为物理学中习惯用右矢 Shankar_ch.11.6 notes名词对应： Unitary（酉算子）— 等距同构 Hermitian — self-adjoint（自伴） Dirac记号非常直观，比如算子的矩阵 $...

结识Shankar源于普通物理学I(H)，那门课的参考教材就是Shankar写的Yale公开课—基础物理。虽然我几乎没怎么看这本教材，但是他书里的段子却听同学讲了很多，实在是过于幽默了。我自己看这本书几乎是跳过正文，专看一些段子 得知Shankar的书平易近人，于是就选择阅读他的量子力学教材，虽然有点厚。 该集合就是Shankar的Principles of Quantum Mechanic...

Analog CircuitsPhysics and Basic DevicesBand TheoryCore Analogy:A Band is just like a tube with water in. Water molecules here represent electrons, and bubbles represent holes. Fermi-Dirac Distribu...

click here to save the pdf version of this article Mathematical PhysicsPartial Differential EquationThe Classes of PDEWe only discuss PDE with two variables. Basic PDE ExampleWhat matters is to fi...