有限交换群在Sylow定理的帮助下，有限交换群已经可以被分解成Sylow子群的直积了，但实际上会有更好的结论：“有限交换群基本定理”与“不变因子定理”。在本篇的帮助下，我们将完全描述有限交换群（和先前的循环群一样，在同构意义下完全知道其结构） 有限交换群基本定理有限交换群$G$（$|G|>1$）都可以被唯一分解成“素数幂次”阶循环群的直积：$$G=\braket{a_1}\o...

Sylow 定理该内容与上篇Cauchy定理的内容联系紧密，与中间的自同构等没啥关系。本篇相当于Cauchy定理的后续发展 铺垫与引理重陪集 设$H,K$为群$G$的两个子群，令$x\in G$，则称$G$的子集$HxK$为群$G$关于子群$H,K$的一个重陪集 引理1 对群$G$任二重陪集，若$HxK\cap HyK\neq\varnothing$，则必有$HxK= HyK$ 该...

正规同态应用到群时…借助同态，可以判定一个代数结构是否是群： 定理：设$G$是一个群，$\bar{G}$是一个有代数运算的集合，如果$G\sim \bar{G}$，则$\bar{G}$也是群，而且$G$的单位元的像就是$\bar{G}$的单位元，$G$中元素的逆元的像就是该元素像的逆元。 就像一个线性映射从$V\to W$，则$\text{range}T$是$W$的子空间，$\text{nu...

Shankar_ch.8终于来到Feynman路径积分！ 回顾一下作用量定义：$$S[x(t)]:=\int_{t_i}^{t_f} \mathscr{L}(x,\dot{x})dt$$其中$\mathscr{L}:=T-V$P226 上方说趋于$\delta(x-x’)$的原因见书P153的5.1.10式，因为当$t’\to t$对应没有演化的情况，此时$U=...

Shankar_ch.77.1 notes讲清楚了为何需要研究谐振子，对角化的方法使得势函数$V$被解耦。保持$p$仍然是对角化的原因在于$p$的矩阵是一个标量乘矩阵形如：$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2m} & 0 & 0 & 0 & \dots\\ 0 & \frac{1}{2m} & 0 & 0 &am...

陪集、指数陪集的定义与性质左陪集的定义：设$H\leq G$，取$a\in G$则称$aH:=\{ax|x\in H\}$为群$G$关于子群$H$的一个左陪集则称$Ha:=\{xa|x\in H\}$为群$G$关于子群$H$的一个右陪集 陪集就像是线代中仿射子集的抽象，如仿射子集不是子空间（除了过原点的那个），这里的陪集也不是子群（除了$H$本身） 如同在Done Rig...

基本概念代数运算定义：有一个法则使得在集合$M$中任意两个有次序的元素，在$M$中都有唯一的元素对应，则该法则是$M$的一个代数运算 含有代数运算的集合称为代数系统 注意：由定义可知，“有代数运算”已经包含了运算的封闭 运算律值得注意厘清“结合律”与“记号的定义”之间关系： eg. 证明变换的乘法满足结合律： $$\begin{align*} [(\sigma\tau)\varphi] (...

Shankar_ch.4值得注意的是，在Postulate II 中，动量算子在坐标空间的“矩阵”其中元素为：$\bra{x}P\ket{x’}=-i\hbar \delta’(x-x’)=-i\hbar\frac{d}{dx}\delta(x-x’)=i\hbar\frac{d}{dx’}\delta(x-x’)$，要小心求导是对$x$还是$x’$ Ex 4....

Quantum Mechanics Done Right中曾说物理学家喜欢在内积的定义中采用第二个位置的加性和齐性，原来是因为物理学中习惯用右矢 Shankar_ch.11.6 notes名词对应： Unitary（酉算子）— 等距同构 Hermitian — self-adjoint（自伴） Dirac记号非常直观，比如算子的矩阵 $...

结识Shankar源于普通物理学I(H)，那门课的参考教材就是Shankar写的Yale公开课—基础物理。虽然我几乎没怎么看这本教材，但是他书里的段子却听同学讲了很多，实在是过于幽默了。我自己看这本书几乎是跳过正文，专看一些段子 得知Shankar的书平易近人，于是就选择阅读他的量子力学教材，虽然有点厚。 该集合就是Shankar的Principles of Quantum Mechanic...