Topology

可数、分离

可数性

下面只讲更强的第二可数（第一可数略），第二可数非常强，有些度量空间甚至不是第二可数的

定义 （可数性）
若拓扑空间$X$具有可数基，则称$X$满足第二可数性公理，或称$X$是第二可数的

定义 （稠密）
拓扑空间$X$的子集$A$，若满足$\overline{A}=X$，则被称为是稠密的，

定理 （第二可数继承）
第二可数空间的子空间是第二可数的

证明：注意到，子空间$A$的基就是原空间的基与$A$之交（见第一篇）

定理 （第二可数空间的性质）
设$X$有一个可数基（就是说$X$是第二可数的），则有两条很好的性质：

$X$的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖
$X$存在一个可数子集在$X$中稠密

证明：

随便来一个开覆盖$\mathscr{A}$，欲找一个子覆盖。由于基是可数的，则对于每一个自然数$n$，都能对应一个基元素 $B_n$，然后，这样去找这个子覆盖：记$\mathscr{B}=\set{B_i:\exists A\in \mathscr{A}\text{ s.t. }A\supset B_i}$，这样以后，对于每一个$B_k\in \mathscr{B}$，取一个$A_k\supset B_k$且$A_k\in \mathscr{A}$（根据$\mathscr{B}$本身构建的定义必能取到！），这样收集来的$\set{A_k}_k$就是所求！唯一令人不安的一点是，这凭什么就是开覆盖了呢？原来，任何$x\in X$，由于开覆盖定义都能找到$A\in \mathscr{A}$使得$x\in A$，又由于基定义拓扑的关系，能找到$x\in B_i\subset A$，这证明了$B_i\in\mathscr{B}$，而那个$A_i$就恰好是满足$B_i\subset A_i$这样找出来的，因此$x\in A_i$，故$\set{A_k}_k$是一个覆盖

沿袭记法，该拓扑空间的基记为$\set{B_j}_j$，现在，我在每个基中各取一个元素，如$x_i\in B_i$，这样收集得到$\set{x_i}_i$，这个集合就是所求的稠密子集！原因很简单，回顾定理（借用基描述闭包）便知

Lindelof空间，指的就是“每一个开覆盖都有一个可数子覆盖”的空间，上面这个定理即说明了，第二可数空间是Lindelof的
可分的空间（separable），指的就是“有可数稠密子集”空间，上面这个定理即说明了，第二可数空间是可分的

分离性

分离性最弱的有T1（即所有单点集都闭的空间），再强一点有Hausdorff（T2），这之前也很熟悉了，下面讨论更强的分离性

定义 （正则）
设拓扑空间$X$中的所有单点集在$X$中都闭（即，首先得是T1的）。然后，若对于任何一个点$x$以及不包含它的任一闭集$B$，存在无交的两个开集，分别包含$x$和$B$，则$X$是正则的（regular）

定义 （正规）
设拓扑空间$X$中的所有单点集在$X$中都闭（即，首先得是T1的）。然后，任何一对无交闭集$A,B$，总存在无交开集分别包含它们，则$X$是正规的（normal）

易知，正规强于正则，正则强于Hausdorff，Hausdorff强于T1。这里的“a强于b”的意思就是若是a，那么必然b

定理 （用“荷叶饼”刻画正则，用“汉堡”刻画正规）

若已知$X$中所有单点集都是闭集，则：

$X$是正则的，当且仅当对于$X$中任意的点$x$以及其某邻域$U$，存在$x$的邻域$V$，使得$\overline{V}\subset U$
$X$是正规的，当且仅当对于$X$中任意的闭集$A$以及包含它的任一开集$U$，存在一个$V$，使得$A\subset V\subset \overline{V}\subset U$

第1条证明：

若$X$正则，则任一$x$的邻域$U$，取$X-U$，就是与$x$无交的的闭集了，用正则的定义，即能找无交开集$V$与$W$，使得$x\in V$且$X-U \subset W$，这个$V$即是所求，因为任何$X-U$中的点，都有$W$这个邻域，与$V$无交。根据定理（借用邻域描述闭包），这说明 $\overline{V}\cap (X-U)=\varnothing$，即 $\overline{V}\subset U$

另一方面，随便取一个$x$以不含它的闭集$B$，令$U=X-B$，则根据假设就能得到$x \in V\subset \overline{V}\subset X-B$，因此$X-\overline{V}$就是要找的含$B$开集，$V$和$X-\overline{V}$这两个无交开集就被找到了，因此正则

第2条证明：同上

我把第一条的这种包含称为“荷叶饼式包含”，回忆北京烤鸭的荷叶饼（荷叶饼，下放一张纸，下面再是一层荷叶饼……），随意找一层荷叶饼$U$，存在一个在它下面（更小的）的荷叶饼$V$，使得荷叶饼$V$的闭包（荷叶饼$V$连同粘着的那层纸）也在荷叶饼$U$下面（包含）

我把第二条的这种集合的包含称之为“汉堡式包含”，因为在汉堡的例子里，方形的肉饼（让人想到方括号，联想到闭集）含在拱形的面包（让人想到圆括弧，联想到开集）里，那么，存在包含肉饼的蔬菜，且蔬菜的闭包（蔬菜加沙拉酱）也含在面包里

总之，这条定理说明了：

$X$是正则的，当且仅当，任何的两个开集之间的包含关系，其实都是“荷叶饼式”的
$X$是正规的，当且仅当，任何开集包含闭集的包含关系，其实都是“汉堡式”的

定理 （子/积空间仍保持Hausdorff性与正则性）
Hausdorff空间的子空间仍Hausdorff，Hausdorff空间的积空间仍Hausdorff。正则空间的子空间仍正则，正则空间的积空间仍正则

证明：

1. Hausdorff

Hausdorff的子空间显然Hausdorff

对于积空间$\prod X_\alpha$，首先取两个不同的点$(x_\alpha)\neq (y_\alpha)$，既然不同，必有$\beta\text{ s.t. }x_\beta\neq y_\beta$，那么利用$X_\beta$空间的Hausdorff性质不就行了！找到 $U_\beta,V_\beta$，然后$\pi_\beta^{-1}(U_\beta)$和$\pi_\beta^{-1}(V_\beta)$就是所要找的用来分离的无交开集

2. 正则：

对于子空间$Y$，随意取一个$x$以及一个子空间拓扑下的闭集$B$，由定理（子空间拓扑下的闭集），可以用$\overline{B}\cap Y$来代表$B$，此处的$\overline{B}$是集合$B$在原空间$X$中的闭包，因此，$x$和$\overline{B}$在原空间里利用的正则性能被分开，为无交开集$U$和$V$分别包裹，最后，$U\cap Y$和$V\cap Y$就是所求！（验证一下，容易）

对于积空间，首先得验证T1满足，因为这是正则（包括正规）的大前提，这点利用刚证的“Hausdorff的积空间仍然Hausdorff”就能说明。剩余部分，有请定理（用“荷叶饼”刻画正则）来解决，任取一个点$(x_\alpha)\in \prod X_\alpha$，其一个邻域是$U_\alpha$，现在，逐一去看其每一个$U_\alpha$，如果是$U_\alpha = X_\alpha$，那就取$V_\alpha = X_\alpha$，否则，根据本身就是正则的假设，能够取到“荷叶饼”$V_\alpha$使得$x_\alpha\in V_\alpha\subset \overline{V_\alpha}\subset U_\alpha$，这样，得到的$\prod V_\alpha$就是一个$(x_\alpha)$的邻域，而且调用定理（闭包之笛卡尔积等于笛卡尔积之闭包），其闭包$\overline{\prod V_\alpha}=\prod \overline{V_\alpha}$，可化为逐分量形式，而且既然逐分量已经得证，因此整个就是是含在$\prod U_\alpha$内的！

谁是正规的？

“离它远一点，它不是正规的！”

从上面这句古话中能悟出，正规是很好的结构这一点，能得到很有用的结论（之后将看到），所以在此，先分享“怎么样的一个空间是正规的”这个问题

定理 （正则+可数基，正规）
有可数基的正则空间，是正规的

证明：设$X$是一个有可数基$\mathscr{B}$的正则空间，而$A$与$B$是两个无交闭子集，欲找到分别包裹它俩的无交开集。

首先固定$x\in A$，那么把正则性应用到$x$和$B$上，就能够得到$x\in U$使得$U$与$B$无交，然后再用一下定理（用“荷叶饼”刻画正则），找到一个“小荷叶饼”$V$使得$x\in V\subset \overline{V}\subset U$，然后根据基生成拓扑的关系，能找到$U_n\in \mathscr{B}$使得 $x\in U_n\subset V$，这个$U_n$就是辛辛苦苦找到的成员，遍历$x\in A$，能找到$\set{U_i}_i$，是一个$A$的可数开覆盖，满足其成员的闭包与$B$无交（因为$\overline{U_i}\subset \overline{V}\subset U$嘛！）

换位思考，对$B$做一样的事，得到$B$的可数开覆盖$\set{V_i}_i$，且其中成员的闭包都与$A$无交

那么，有了$\set{U _ i} _ i$和$\set{V _ i} _ i$后，定义$U’ _ n = U _ n- \bigcup\limits _ {i=1}^n\overline{ V _ i}$以及$V’ _ n = V _ n-\bigcup\limits _ {i=1}^n\overline{U _ i}$（是开集哦），这样以后，我们最开始要找的包裹$A$的开集其实就是$\bigcup\limits _ {n\in \mathbb{Z^+}} U _ n’$，包裹$B$的开集其实就是$\bigcup\limits _ {n\in \mathbb{Z^+}} V _ n’$！验证一下它俩无交：原因是，假设$z\in \bigcup\limits _ {n\in \mathbb{Z^+}} U _ n’\bigcap \bigcup\limits _ {n\in \mathbb{Z^+}} V _ n’$，易知，必有$z\in U’ _ j\cap V’ _ k$，不妨设$j\leq k$，那么，$z\in V’ _ k$这一点其实暗示了$z\notin \overline{U} _ j$，这和$z\in U’ _ j\cap V’ _ k $其实矛盾，所以，$\bigcup\limits _ {n\in \mathbb{Z^+}} U _ n’\bigcap \bigcup\limits _ {n\in \mathbb{Z^+}} V _ n’=\varnothing$

定理 （度量空间正规）
可度量化空间是正规的

证明：这很简单，对于两个开集$A,B$，遍历$A$中每一点都取以它为中心的小球使得该球与$B$无交，小球为$B(a,\epsilon_a)$，而$\bigcup\limits_{a \in A} B(a,\frac{\epsilon_a}{2})$就是所求包裹$A$的开集！而同样的操作对于$B$，得到$\bigcup\limits_{b\in B}B(b,\frac{\epsilon_b}{2})$，注意这个除以2很关键，因为要验证这两个开集的确无交，三角不等式要用，矛盾来自$d(a,b)<\frac{\epsilon_a+\epsilon_b}{2}$，将与球的构造方法相悖！

定理 （紧致的Hausdorff空间正规）
紧致的Hausdorff空间，是正规的

证明：

1. 先证是正则的：

对于一个$x\in X$以及一个闭集$Y$，由定理（紧空间的闭子集紧）可知，事实上$Y$是紧致的，回顾一下定理（Hausdorff空间的紧集闭）的证明过程，发现，实际上在证明中已然构造了两个开集，分别包含$x\in X$和不含它的紧致集$Y$，因此，那个证明的过程直接拿来就得知该空间是正则的

2. 再证是正规的：

可以拿刚才的正则来用了！对于$A,B$两个闭集，可以先固定$x\in A$，然后利用正则性，得到$U_x$和$V_x$分别包含$x$与$B$，这样遍历$x\in A$以后，就有 $\bigcup U_x$与 $\bigcap V_x$分别覆盖$A$与$B$，最后，由于$A$是紧致空间的闭子集从而紧，因此可以降为有限个开覆盖 $\bigcup\limits_{i=1}^n U_{x_i}\supset A$，从而 $\bigcap\limits_{i=1}^n V_{x_i}\supset B$，这就是要找的两个无交开集

有意思的是，正规空间的子空间不一定是正规的，正规空间的积（甚至有限积）也不一定是正规的