Topology

可数、分离

可数性

下面只讲更强的第二可数（第一可数略），第二可数非常强，有些度量空间甚至不是第二可数的

定义 （可数性）
若拓扑空间 $X$ 具有可数基，则称 $X$ 满足第二可数性公理，或称 $X$ 是第二可数的

定义 （稠密）
拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ ，若满足 $\overset{―}{A} = X$ ，则被称为是稠密的，

定理 （第二可数继承）
第二可数空间的子空间是第二可数的

证明：注意到，子空间 $A$ 的基就是原空间的基与 $A$ 之交（见第一篇）

定理 （第二可数空间的性质）
设 $X$ 有一个可数基（就是说 $X$ 是第二可数的），则有两条很好的性质：

$X$ 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖
$X$ 存在一个可数子集在 $X$ 中稠密

证明：

随便来一个开覆盖 $A$ ，欲找一个子覆盖。由于基是可数的，则对于每一个自然数 $n$ ，都能对应一个基元素 $B_{n}$ ，然后，这样去找这个子覆盖：记 $B = {B_{i} : \exists A \in A s.t. A \supset B_{i}}$ ，这样以后，对于每一个 $B_{k} \in B$ ，取一个 $A_{k} \supset B_{k}$ 且 $A_{k} \in A$ （根据 $B$ 本身构建的定义必能取到！），这样收集来的 ${A_{k}}_{k}$ 就是所求！唯一令人不安的一点是，这凭什么就是开覆盖了呢？原来，任何 $x \in X$ ，由于开覆盖定义都能找到 $A \in A$ 使得 $x \in A$ ，又由于基定义拓扑的关系，能找到 $x \in B_{i} \subset A$ ，这证明了 $B_{i} \in B$ ，而那个 $A_{i}$ 就恰好是满足 $B_{i} \subset A_{i}$ 这样找出来的，因此 $x \in A_{i}$ ，故 ${A_{k}}_{k}$ 是一个覆盖

沿袭记法，该拓扑空间的基记为 ${B_{j}}_{j}$ ，现在，我在每个基中各取一个元素，如 $x_{i} \in B_{i}$ ，这样收集得到 ${x_{i}}_{i}$ ，这个集合就是所求的稠密子集！原因很简单，回顾定理（借用基描述闭包）便知

Lindelof空间，指的就是“每一个开覆盖都有一个可数子覆盖”的空间，上面这个定理即说明了，第二可数空间是Lindelof的
可分的空间（separable），指的就是“有可数稠密子集”空间，上面这个定理即说明了，第二可数空间是可分的

分离性

分离性最弱的有T1（即所有单点集都闭的空间），再强一点有Hausdorff（T2），这之前也很熟悉了，下面讨论更强的分离性

定义 （正则）
设拓扑空间 $X$ 中的所有单点集在 $X$ 中都闭（即，首先得是T1的）。然后，若对于任何一个点 $x$ 以及不包含它的任一闭集 $B$ ，存在无交的两个开集，分别包含 $x$ 和 $B$ ，则 $X$ 是正则的（regular）

定义 （正规）
设拓扑空间 $X$ 中的所有单点集在 $X$ 中都闭（即，首先得是T1的）。然后，任何一对无交闭集 $A, B$ ，总存在无交开集分别包含它们，则 $X$ 是正规的（normal）

易知，正规强于正则，正则强于Hausdorff，Hausdorff强于T1。这里的“a强于b”的意思就是若是a，那么必然b

定理 （用“荷叶饼”刻画正则，用“汉堡”刻画正规）

若已知 $X$ 中所有单点集都是闭集，则：

$X$ 是正则的，当且仅当对于 $X$ 中任意的点 $x$ 以及其某邻域 $U$ ，存在 $x$ 的邻域 $V$ ，使得 $\overset{―}{V} \subset U$
$X$ 是正规的，当且仅当对于 $X$ 中任意的闭集 $A$ 以及包含它的任一开集 $U$ ，存在一个 $V$ ，使得 $A \subset V \subset \overset{―}{V} \subset U$

第1条证明：

若 $X$ 正则，则任一 $x$ 的邻域 $U$ ，取 $X - U$ ，就是与 $x$ 无交的的闭集了，用正则的定义，即能找无交开集 $V$ 与 $W$ ，使得 $x \in V$ 且 $X - U \subset W$ ，这个 $V$ 即是所求，因为任何 $X - U$ 中的点，都有 $W$ 这个邻域，与 $V$ 无交。根据定理（借用邻域描述闭包），这说明 $\overset{―}{V} \cap (X - U) = \emptyset$ ，即 $\overset{―}{V} \subset U$

另一方面，随便取一个 $x$ 以不含它的闭集 $B$ ，令 $U = X - B$ ，则根据假设就能得到 $x \in V \subset \overset{―}{V} \subset X - B$ ，因此 $X - \overset{―}{V}$ 就是要找的含 $B$ 开集， $V$ 和 $X - \overset{―}{V}$ 这两个无交开集就被找到了，因此正则

第2条证明：同上

我把第一条的这种包含称为“荷叶饼式包含”，回忆北京烤鸭的荷叶饼（荷叶饼，下放一张纸，下面再是一层荷叶饼……），随意找一层荷叶饼 $U$ ，存在一个在它下面（更小的）的荷叶饼 $V$ ，使得荷叶饼 $V$ 的闭包（荷叶饼 $V$ 连同粘着的那层纸）也在荷叶饼 $U$ 下面（包含）

我把第二条的这种集合的包含称之为“汉堡式包含”，因为在汉堡的例子里，方形的肉饼（让人想到方括号，联想到闭集）含在拱形的面包（让人想到圆括弧，联想到开集）里，那么，存在包含肉饼的蔬菜，且蔬菜的闭包（蔬菜加沙拉酱）也含在面包里

总之，这条定理说明了：

$X$ 是正则的，当且仅当，任何的两个开集之间的包含关系，其实都是“荷叶饼式”的
$X$ 是正规的，当且仅当，任何开集包含闭集的包含关系，其实都是“汉堡式”的

定理 （子/积空间仍保持Hausdorff性与正则性）
Hausdorff空间的子空间仍Hausdorff，Hausdorff空间的积空间仍Hausdorff。正则空间的子空间仍正则，正则空间的积空间仍正则

证明：

1. Hausdorff

Hausdorff的子空间显然Hausdorff

对于积空间 $\prod X_{α}$ ，首先取两个不同的点 $(x_{α}) \neq (y_{α})$ ，既然不同，必有 $β s.t. x_{β} \neq y_{β}$ ，那么利用 $X_{β}$ 空间的Hausdorff性质不就行了！找到 $U_{β}, V_{β}$ ，然后 $π_{β}^{- 1} (U_{β})$ 和 $π_{β}^{- 1} (V_{β})$ 就是所要找的用来分离的无交开集

2. 正则：

对于子空间 $Y$ ，随意取一个 $x$ 以及一个子空间拓扑下的闭集 $B$ ，由定理（子空间拓扑下的闭集），可以用 $\overset{―}{B} \cap Y$ 来代表 $B$ ，此处的 $\overset{―}{B}$ 是集合 $B$ 在原空间 $X$ 中的闭包，因此， $x$ 和 $\overset{―}{B}$ 在原空间里利用的正则性能被分开，为无交开集 $U$ 和 $V$ 分别包裹，最后， $U \cap Y$ 和 $V \cap Y$ 就是所求！（验证一下，容易）

对于积空间，首先得验证T1满足，因为这是正则（包括正规）的大前提，这点利用刚证的“Hausdorff的积空间仍然Hausdorff”就能说明。剩余部分，有请定理（用“荷叶饼”刻画正则）来解决，任取一个点 $(x_{α}) \in \prod X_{α}$ ，其一个邻域是 $U_{α}$ ，现在，逐一去看其每一个 $U_{α}$ ，如果是 $U_{α} = X_{α}$ ，那就取 $V_{α} = X_{α}$ ，否则，根据本身就是正则的假设，能够取到“荷叶饼” $V_{α}$ 使得 $x_{α} \in V_{α} \subset \overset{―}{V_{α}} \subset U_{α}$ ，这样，得到的 $\prod V_{α}$ 就是一个 $(x_{α})$ 的邻域，而且调用定理（闭包之笛卡尔积等于笛卡尔积之闭包），其闭包 $\overset{―}{\prod V_{α}} = \prod \overset{―}{V_{α}}$ ，可化为逐分量形式，而且既然逐分量已经得证，因此整个就是是含在 $\prod U_{α}$ 内的！

谁是正规的？

“离它远一点，它不是正规的！”

从上面这句古话中能悟出，正规是很好的结构这一点，能得到很有用的结论（之后将看到），所以在此，先分享“怎么样的一个空间是正规的”这个问题

定理 （正则+可数基，正规）
有可数基的正则空间，是正规的

证明：设 $X$ 是一个有可数基 $B$ 的正则空间，而 $A$ 与 $B$ 是两个无交闭子集，欲找到分别包裹它俩的无交开集。

首先固定 $x \in A$ ，那么把正则性应用到 $x$ 和 $B$ 上，就能够得到 $x \in U$ 使得 $U$ 与 $B$ 无交，然后再用一下定理（用“荷叶饼”刻画正则），找到一个“小荷叶饼” $V$ 使得 $x \in V \subset \overset{―}{V} \subset U$ ，然后根据基生成拓扑的关系，能找到 $U_{n} \in B$ 使得 $x \in U_{n} \subset V$ ，这个 $U_{n}$ 就是辛辛苦苦找到的成员，遍历 $x \in A$ ，能找到 ${U_{i}}_{i}$ ，是一个 $A$ 的可数开覆盖，满足其成员的闭包与 $B$ 无交（因为 $\overset{―}{U_{i}} \subset \overset{―}{V} \subset U$ 嘛！）

换位思考，对 $B$ 做一样的事，得到 $B$ 的可数开覆盖 ${V_{i}}_{i}$ ，且其中成员的闭包都与 $A$ 无交

那么，有了 ${U_{i}}_{i}$ 和 ${V_{i}}_{i}$ 后，定义 $U_{n}^{'} = U_{n} - ⋃_{i = 1}^{n} \overset{―}{V_{i}}$ 以及 $V_{n}^{'} = V_{n} - ⋃_{i = 1}^{n} \overset{―}{U_{i}}$ （是开集哦），这样以后，我们最开始要找的包裹 $A$ 的开集其实就是 $⋃_{n \in Z^{+}} U_{n}^{'}$ ，包裹 $B$ 的开集其实就是 $⋃_{n \in Z^{+}} V_{n}^{'}$ ！验证一下它俩无交：原因是，假设 $z \in ⋃_{n \in Z^{+}} U_{n}^{'} ⋂ ⋃_{n \in Z^{+}} V_{n}^{'}$ ，易知，必有 $z \in U_{j}^{'} \cap V_{k}^{'}$ ，不妨设 $j \leq k$ ，那么， $z \in V_{k}^{'}$ 这一点其实暗示了 $z \notin {\overset{―}{U}}_{j}$ ，这和 $z \in U_{j}^{'} \cap V_{k}^{'}$ 其实矛盾，所以， $⋃_{n \in Z^{+}} U_{n}^{'} ⋂ ⋃_{n \in Z^{+}} V_{n}^{'} = \emptyset$

定理 （度量空间正规）
可度量化空间是正规的

证明：这很简单，对于两个开集 $A, B$ ，遍历 $A$ 中每一点都取以它为中心的小球使得该球与 $B$ 无交，小球为 $B (a, ϵ_{a})$ ，而 $⋃_{a \in A} B (a, \frac{ϵ_{a}}{2})$ 就是所求包裹 $A$ 的开集！而同样的操作对于 $B$ ，得到 $⋃_{b \in B} B (b, \frac{ϵ_{b}}{2})$ ，注意这个除以2很关键，因为要验证这两个开集的确无交，三角不等式要用，矛盾来自 $d (a, b) < \frac{ϵ_{a} + ϵ_{b}}{2}$ ，将与球的构造方法相悖！

定理 （紧致的Hausdorff空间正规）
紧致的Hausdorff空间，是正规的

证明：

1. 先证是正则的：

对于一个 $x \in X$ 以及一个闭集 $Y$ ，由定理（紧空间的闭子集紧）可知，事实上 $Y$ 是紧致的，回顾一下定理（Hausdorff空间的紧集闭）的证明过程，发现，实际上在证明中已然构造了两个开集，分别包含 $x \in X$ 和不含它的紧致集 $Y$ ，因此，那个证明的过程直接拿来就得知该空间是正则的

2. 再证是正规的：

可以拿刚才的正则来用了！对于 $A, B$ 两个闭集，可以先固定 $x \in A$ ，然后利用正则性，得到 $U_{x}$ 和 $V_{x}$ 分别包含 $x$ 与 $B$ ，这样遍历 $x \in A$ 以后，就有 $⋃ U_{x}$ 与 $⋂ V_{x}$ 分别覆盖 $A$ 与 $B$ ，最后，由于 $A$ 是紧致空间的闭子集从而紧，因此可以降为有限个开覆盖 $⋃_{i = 1}^{n} U_{x_{i}} \supset A$ ，从而 $⋂_{i = 1}^{n} V_{x_{i}} \supset B$ ，这就是要找的两个无交开集

有意思的是，正规空间的子空间不一定是正规的，正规空间的积（甚至有限积）也不一定是正规的