Topology
之前讲了那么多抽象的结构，本次就来见一下实物图吧
当然，实物图也不完全是真实具象的，我们的讨论仍然基于提取出的实轴的一些抽象特征
本篇跳过，也不会有任何抽象层面的影响
实物图—实轴
当序拓扑遇上连通
实轴上的连通性大家都很熟了，只不过在现在来看，能看得更加“抽象”一点：原先想的是实数、有理数等等具体的对象，现在想的全是序等抽象的结构！
定义 （线性连续统）
元素多于一个的全序集$L$，满足下面两个条件后，被称为线性连续统（linear continuum）：
$L$有最小上确界性质
若$x < y$，则存在$z$使得$x<z<y$
定理 （线性连续统+序拓扑，凸子集连通）
还记得序拓扑吗？还记得全序集的凸子集的定义吗？若$L$是一个线性连续统，现在对其定义序拓扑，则$L$的所有凸子集（包括自己）也连通
证明：回忆一下第二篇中的序拓扑和凸的定义！然后开始反证：
假设$Y$是$L$的凸子集，且$Y=A\cup B$，其中$A,B$满足……现在取$a\in A$以及$b\in B$，由凸子集定义，$[a,b]$（不妨设$a<b$）在$Y$内，因此$[a,b]=(A\cap[a,b])\bigcup(B\cap[a,b])$，记前者$A_0$，后者$B_0$
现在把目光聚焦到$[a,b]$，在其上取子空间拓扑，$A_0$与$B_0$就是一个分割。定义$c=\sup A_0$，由于最小上确界性质，$c\in L$，但根据$A_0$定义就知道，$b$是$A_0$的上界，$a$一定是$A_0$中的一个元素，因此$a\leq c\leq b$，即$c\in [a,b]=A_0\cup B_0$，准备导出矛盾吧！
1. 若$c\in B_0$
则$c=b$或$a<c<b$，由于$B_0$是$[a,b]$的分割的一部分，必然在子空间拓扑下开，又根据定理 （凸子集，序拓扑就是子空间拓扑），可知$[a,b]$的子空间拓扑就是其上的序拓扑！所以，$B_0$在$[a,b]$的序拓扑意义下是开集！因为$c\in B_0$，由基的定义，$\exists U$使得$c\in U\subset B_0$，其中$U$是$[a,b]$上序拓扑的基元素，回忆一下，就是那三种区间之一，在这里，$U$就是$(d,c]$或$(d,e)$，其中$d<c<e$
因为$U$中有$c$作为$A_0$的上界，取$U$中较小的一个元素（$d,c$之间），根据$U\cap A_0\subset B_0\cap A_0=\varnothing$，发现$A_0$的任何元素都不再$U$里，没法掺和到这个较小元素和$c$之间。因此，这个较小元素也是$A_0$的上界，这和$c$是最小上界矛盾
2. 若$c\in A_0$
$c=a$或$a<c<b$，同理，存在$c\in U\subset A_0$，其中$U$为$[c,d)$或者$(e,d)$，其中$e<c<d$
因为$U$中已有$c$作为$A_0$的上界，但是$U$不管哪种形式，其中都可取得一个较大的元素，因此$A_0$中有比$c$大的，矛盾
因此，这个定理告诉我们，线性连续统上的区间和射线（都凸）都是连通的，具体的，实直线就是一个特例！
定理 （介值定理）
设$f:X\to Y$是从连通空间$X$到具有序拓扑的全序集$Y$的一个连续映射。若$a,b\in X$，且$r$是$Y$中介于$f(a),f(b)$之间的一个点，则$X$中存在一个点$c$使得$f(c)=r$
证明：在这个体系里证明十分优雅。$A=f(X)\cap (-\infty,r)$以及$B=f(X)\cap (r,\infty)$，两者当然无交，由于$f(a)\in A,f(b)\in B$，因此两者非空，且两者都是$f(X)$的开集（子空间拓扑下），那么，如果$r\notin f(X)$，那不就是分割了嘛！这说明$f(X)$不连续，但是定理（连通的连续像仍连通）与之矛盾，证毕
当序拓扑遇上紧致
下面的内容大家也早就很熟悉了，定理本身无需多言，只不过“序拓扑”（而非实数什么别的性质）在这里扮演者核心的角色
定理 （闭区间紧致）
$X$是一个具有上确界性质的全序集，则关于序拓扑，$X$中的每一个闭区间都是紧致的
证明：考察对象$[a,b]$，考察它的一个开覆盖$\mathscr{A}$（即$[a,b]$的子空间拓扑下的开集族）只需证明能找到其一个有限子覆盖
1. 先证明：若$x\in [a,b)$，则存在$y>x$，使得$[x,y]$可以由$\mathscr{A}$中的不超过两个成员覆盖
若$x$有直接后元，则令$y$即为其直接后元，这样直接结束了，因为$[x,y]$中一共2个元素，找开覆盖中含有它俩的成员，两个肯定够了
若没有直接后元，那现找开覆盖里含有$x$的一个成员$A$，那么由于$A$是开集，回顾定义（序拓扑），必然有基（那几类之一）在$A$里面：若$x=a$，则形如$[a,c)$；否则，形如$(d,c)$。但不管哪种情况，只需选$y\in (x,c)$不就行了！注意，$(x,c)$一定非空（否则$c$就是$x$的直接后元了），所以$y$是能选出来的
2. 再构造一个集合$C$：对于$y\in(a,b]$，若$[a,y]$能够被有限个$\mathscr{A}$中的元素覆盖，则$y$就被纳入$C$中，这样得到的一个集合$C$。根据第一步知$y$的存在性，那么可以用$X$有上确界性质，得到$c=\sup C$的存在性，验证一下，当然有$a < c \leq b$
3. 证明$c\in C$，即证明$[a,c]$可以被有限个$\mathscr{A}$中成员覆盖：
先选取含有$c$的那个$\mathscr{A}$的成员$A_c$，由于$A_c$开，回顾定义（序拓扑），要么$c=b$，则必有$(d,c]$含在$A_c$里，其中$d\in[a,b]$；若$c\neq b$，则必有基元素$(d,e)$含在$A_c$里，不管怎样,其实都有$(d,c]\subset A_c$
反证法：假设$c\neq C$，则取个$z\in C$使得$z\in (d,c)$一定是可以的吧！否则，连这都取不到的话，$C$中就没有元素在$(d,c)$之间，那$d$一定是上界，那$c$就不可能是上确界了。因此，$z$能取到！但是，由于$z\in C$，根据$C$的定义$[a,z]$能被有限个覆盖，而且$[z,c]\subset (d,c]\subset A_c$，所以那有限个基础上加个$A_c$就能覆盖$[a,z]\cup [z,c]=[a,c]$，这不恰恰说明假设错误，因此推出$c\in C$嘛！
4. 证明$c=b$：反证法，假设$c<b$。既然$c\in C$，那么对于$x=c$的情形套用第1条的结论，存在$y>c$，使得$[c,y]$由$\mathscr{A}$中的不超过两个成员覆盖，那么$[a,c]$根据$c\in C$即知能被有限个覆盖，而$[c,y]$也能被两个成员覆盖，所以$[a,y]=[a,c]\cup[c,y]$能被有限个成员覆盖，所以$y\in C$，但这与$c<y$且$c$是$C$上确界矛盾！因此，$c=b$才行
$\square$
作为特例，实轴上的闭区间紧致！
定理 （极值定理）
$f:X\to Y$是两个拓扑空间之间的连续映射，其中$X$紧致，$Y$是具有序拓扑的全序集。则存在$c,d\in X$，使得对于所有$x\in X$有$f(c)\leq f(x)\leq f(d)$
证明：根据定理（紧集的连续像紧），$f(X)$紧致，目标就是证明$f(X)$有最大元与最小元：
假设没有最大元，则$\set{(-\infty, a):a\in A}$就是$A$的一个开覆盖，但是紧致能帮我们找到一个有限子覆盖$\set{(-\infty,a_i):i=1,\dots n}$那么$\max\limits_i a_i$不就是最大元嘛！与“没有最大元”矛盾
假设没有最小元，则……（同理）……与“没有最小元”矛盾
$\square$
