Topology
“深刻的大定理”
Tychonoff 定理
在积拓扑下，紧致空间的任意积还是紧致的
两个引理
定理 （含$\mathscr{A}$且有限交性质的极大集族$\mathscr{D}$）
一个集合$X$，记$\mathscr{A}$是$X$的一个具有有限交性质的子集族。那么，存在一个具有有限交性质的子集族$\mathscr{D}\supset \mathscr{A}$，使得任何真包含$\mathscr{D}$的集族，都将丧失有限交性质（就是说$\mathscr{D}$是具有有限交性质的极大元）
证明：回顾Zorn引理。把它再表述一遍：具有偏序关系的一个非空集合，如果，任何其全序子集都具有上界（就是说大于等于全序子集里每一个成员的元素），那么，该具有偏序关系的集合便具有极大元
思路非常清楚了，这是一个“实现问题”，即把Zorn引理实现出来，就证完了。我们只要验证一些细节，保证能够套用Zorn引理就行了
现在，考察以所有“具有有限交性质”且“包含$\mathscr{A}$”的集合为成员的集合，以“集合的包含”作为偏序关系
该具有偏序关系的集合当然非空，因为$\mathscr{A}$在里面呀！
假设有个该集合的全序子集$\set{\mathscr{B} _ \alpha}_\alpha$，欲证具有上界：只需把上界构造出来：取全序子集里所有成员的并集 $\bigcup \mathscr{B}_\alpha$！当然还要验证一下这个并集没有“跑出去”，即：还具有有限交性质且仍包含$\mathscr{A}$。后者显然，看看前者：
1. 任取 $\bigcup \mathscr{B}_\alpha$的有限个成员$\set{B_1,\dots ,B_n}$，那根据这个并集本身的构造方法可知，能找到$\set{\mathscr{B} _ i} _ 1^n$，使得$B _ i\in\mathscr{B} _ i$
2. 考察这$n$个里最大的那个，记为$\mathscr{B}^\ast$，由于“全序”在集合里就是一层包一层，最大的吞掉所有小的，$\mathscr{B}^\ast$的成员里自然有$B_1,\dots ,B_n$。那么，由于$\mathscr{B}^\ast$具有有限交性质，那么$\bigcap\limits _ {i=1}^n B _ i$就非空
3. 因此，$\bigcup \mathscr{B} _ \alpha$具有有限交性质！
- By Zorn’s Lemma，具有极大元，极大元就是$\mathscr{D}$！
定理 （$\mathscr{D}$的性质）
集合$X$，$\mathscr{D}$是一个子集族，且是关于有限交性质是极大的，则：
$\mathscr{D}$中的成员有限交后仍在$\mathscr{D}$中
若$A\subset X$且$A$与$\mathscr{D}$中的成员都相交，则$A\in \mathscr{D}$
证明：
1. 假设有一些$\mathscr{D}$中的有限个成员$\set{D_1,\dots ,D_n}$，其交为$\bigcap\limits_{i=1}^n D_i = D$，验证的就是$D$不会跑出去，那么，只需添加$D$到$\mathscr{D}$中，然后证明$D\cup \mathscr{D} = \mathscr{D}$即可：
验证$D\cup\mathscr{D}$仍然具有有限交性（分类、展开……易得）
由题设$\mathscr{D}$是极大的，可明摆着$D\cup\mathscr{D}\supset \mathscr{D}$，因此只能$D\in \mathscr{D}$
2. 假设$A$真是这样，那么把$A$添加进来$A\cup\mathscr{D}$，验证$A\cup\mathscr{D}=\mathscr{D}$即可：
$A\cup\mathscr{D}$具有有限交性质：取其中的有限个元素然后交起来，如果不含$A$那没什么好讨论的，因为$\mathscr{D}$具有有限交性质保证了交非空。我们关心的是这有限个元素含有$A$的情形，此时形如$D_1\cap \dots \cap D_n\cap A$，由于刚才第1条中证明了$(D_1\cap \dots \cap D_n)\in \mathscr{D}$，而$A$与$\mathscr{D}$中元素都相交，因此$(D _ 1\cap \dots \cap D _ n)\cap A\neq \varnothing$！故，具有有限交性质
由题设$\mathscr{D}$是极大的，可明摆着$A\cup\mathscr{D}\supset \mathscr{D}$，因此只能$A\in \mathscr{D}$
正文
定理 （Tychonoff）
在积拓扑下，紧致空间的任意积还是紧致的
证明：剩下的任务是拼拼图，回忆定理（用有限交刻画紧致）以及刚才证明的定理（含$\mathscr{A}$且有限交性质的极大集族），还有定理（$\mathscr{D}$的性质）整合一下就能证明了！
考察对象为$\prod X_\alpha$，每一个$X_\alpha$都是紧致的。现在，根据定理（用有限交刻画紧致），只用证明任何一个具有有限交性质的闭子集族，其全体交非空！
取一个有限交性质的闭子集族$\mathscr{A}$，欲证$\bigcap\limits_{A\in\mathscr{A}} A\neq\varnothing$
应用定理（含$\mathscr{A}$且有限交性质的极大集族）$\mathscr{D}$是存在的，不过$\mathscr{D}$中的元素可能不全是闭集了。但是，如果能够证出$\bigcap\limits_{D\in \mathscr{D}}\overline{D}\neq \varnothing$，那蕴含了$\bigcap\limits _ {A\in\mathscr{A}} A\neq\varnothing$，因为$A=\overline{A}$嘛！
所以，从此往后，我们的目标就是证明$\bigcap\limits_{D\in \mathscr{D}}\overline{D}\neq \varnothing$
考察$\set{\overline{\pi_\alpha(D)}:D\in\mathscr{D}}$这个$X_\alpha$里的子集族，当然具有有限交性质（否则第$\alpha$个分量交成空的，那$\mathscr{D}$就不具有有限交性质了），而且也是闭集族。因此，由于$X _ \alpha$是紧致的，根据定理（用有限交刻画紧致），$\bigcap\limits _ {D\in \mathscr{D}} \overline{\pi _ \alpha(D)} \neq \varnothing$，可以找到一个$x _ \alpha$在里面
把$\alpha$跑起来，得到$(x _ \alpha) _ \alpha\in \prod X _ \alpha$，最后一击在于，验证$(x _ \alpha) _ \alpha\in\bigcap\limits _ {D\in\mathscr{D}} \overline{D}$（这就说明$\bigcap\limits _ {D\in \mathscr{D}}\overline{D}$非空）：
我们先证，任何一个包含$(x _ \alpha) _ \alpha$的子基元素，与任何的$D$相交：积拓扑的子基我们熟啊，就长$\pi _ \beta^{-1}(U _ \beta)$这样，所以，若$(x_\alpha)_\alpha$在该子基里面，则$x_\beta\in U _ \beta$，根据$x_\beta$的定义，$x_\beta\in \overline{\pi_\beta(D)}$，根据定理（借用邻域描述闭包），必然$\pi_\beta(D)\cap U _ \beta \neq\varnothing$，故有$y\in D$使得$\pi_\beta(y)\in U _ \beta$，则$\pi _ \beta^{-1}(U _ \beta)\cap D\supset{\set{y}}\neq \varnothing$
有意思的是，回忆定理（$\mathscr{D}$的性质）的第二条，“任何包含$(x_\alpha)_\alpha$的子基和所有$D$都相交”已刚刚得证，所以，这些子基全部都被$\mathscr{D}$吞并了
子集一旦被吞并，又根据定理（$\mathscr{D}$的性质）的第一条，子基的有限交也在$\mathscr{D}$内，即，包含$(x _ \alpha) _ \alpha$的所有积拓扑基元素都在$\mathscr{D}$里！由于$\mathscr{D}$具有有限交性质，那当然有“两个交”性质，这里，一个取任意的$D\in\mathscr{D}$，另一个任取含$(x _ \alpha) _ \alpha$的基元素，它俩交非空。重述一下最后一句话，就是“任取一个含$(x _ \alpha) _ \alpha$的基元素，都和任意的$D$相交”，回顾（借用基描述闭包），就改写为“$(x _ \alpha) _ \alpha$在任意的$\overline{D}$里”，这就是$(x _ \alpha) _ \alpha\in \bigcap\limits _ {D\in \mathscr{D}}\overline{D}$
$\square$
