Topology

Hausdorff、连通、紧致

本篇讨论拓扑不变量，所谓拓扑不变量，就是互相同胚的空间中保持一致的一个性质。这个性质的用场是，如果你想证明$X$和$Y$空间是“不同”的（在同胚意义下），该怎么说明呢？用同胚映射不容易，因为万一同胚映射真的存在，只不过你没找到而已。拓扑不变量可以来帮忙，有哪个拓扑不变量，在$X$中是这样在$Y$中却是那样，就证明了两者必定不同胚！

Hausdorff性

定义 （Hausdorff）
一个拓扑空间，如果其中的任取两不同的$x_1,x_2$，存在邻域$x_1\in U_1$，$x_2\in U_2$使得$U_1\cap U_2=\varnothing$，则称该空间为Hausdorff的

定理 （Hausdorff空间的有限集都是闭集）
Hausdorff空间的有限集都是闭集

证明：只需证单点集闭，然后归纳就行了。

一个单点集$\set{x_0}$，要证明$X-\set{x_0}$开，那么，随便取一个$x\in X-\set{x_0}$，根据Hausdorff性，能够取到$x\in U$以及$x_0\in V$，且$U\cap V=\varnothing$

因此，任何一个$x\in X-\set{x_0}$，都在$X-\set{x_0}$的内部，而$x$可取遍整个$X-\set{x_0}$呀，所以，$X-\set{x_0}$就等于自己的内部，因此它是开集，即$\set{x_0}$闭

定理 （Hausdorff空间的序列至多收敛到一个点）
Hausdorff空间的序列至多收敛到一个点（注意：这里的收敛采取的定义请回顾拓扑空间中的收敛定义）

反证法，若收敛到多于一点，则任取两个点，由Hausdorff……与收敛定义相悖

定理 （Hausdorff性是拓扑不变量）
若拓扑空间$X$是Hausdorff的，而拓扑空间$Y$与之同胚，则$Y$也是Hausdorff的

证明：同胚映射$f:X\to Y$，任取$Y$中两个点$y_1,y_2$，先找$x_1=f^{-1}(y_1)$，再找$x_2=f^{-1}(y_2)$，由于$x_1\neq x_2$，因此根据$X$是Hausdorff的假设，存在$x_1\in U_1$以及$x_2\in U_2$且$U_1\cap U_2=\varnothing$，因此$y_1 \in f(U_1)$以及$y_2\in f(U_2)$，而且……

连通性

连通性质—General Idea

定义 （分割）
拓扑空间$X$的一个分割（separation），指的是$X$的一对非空无交开集$U,V$，且$U\cup V=X$

定义 （连通）
拓扑空间$X$如果不存在分割，则称为连通的

定理 （极限点描述连通）
$X$是拓扑空间，$Y$是其一个子空间，不存在$Y$的两个非空子集$A,B$，使得：其并等于$Y$，并且$A$和$B$互相不包含对方的极限点。这样的$Y$是连通的

之前也经常拿它作为连通的定义。这种“不存在……”的表述，证明就证逆否命题

证明：

一方面，若不是连通的，则存在两个开集$A\cup B=Y$，两者非空不交且开。这样，由于$A$和$B$在$Y$中既开又闭，由第一篇中的定理（子空间拓扑下闭包的表示），$A=\overline{A}\cap Y$，故根据假设，就有$\overline{A}\cap Y\cap B=\varnothing$，把$Y\cap B=B$吸收掉$Y$，即推出$\overline{A}\cap B=\varnothing$……不符合该命题

另一方面，若不符合这个命题，即：存在非空的$A$与$B$两集合，其并为$Y$，互不包含对方的极限点。则由于极限点含在闭包里，该假设即$\overline{A}\cap B=\varnothing$，给上式再交上$Y$毫不影响，即$(Y\cap\overline{A})\cap B=\varnothing$，当然由于$A,B$之并为$Y$，必有$(\overline{A}\cap Y)\cup B=Y$，根据定理（子空间拓扑下闭包的表示），翻译一下：$A$在$Y$中的闭包即$\overline{A}\cap Y$，根据闭集定义，知道了$B$是$Y$中开集。同理，$A$也是$Y$中开集……不连通

定理 （连通子空间脚踏一只船）
若$X$是不连通的拓扑空间，分割为$C$和$D$，$Y$是$X$的连通子空间，则$Y\subset C$或者$Y\subset D$

证明：子空间拓扑，$C\cap Y$与$D\cap Y$当然是$Y$中开集；$C,D$本就不交，限制在$Y$后更不可能交；其并当然是$Y$。万事俱备，只欠“两者均非空”这一东风，就能说明$Y$不连通了。这东风不能给，因此必有一者为空

定理 （连通集们牵手仍连通）
拓扑空间$X$的连通子空间族，成员含有一公共点，则成员之并连通

证明：设连通子集族为$\set{A_\alpha}$，含有$p$这一公共点，欲证$\bigcup A_\alpha$连通

反证：假设$\bigcup A_\alpha=C\cup D$，$C,D$符合分割的那些条件，$p$只能属于其一，譬如$p\in C$，则$A_\beta\cap C\neq \varnothing$，由定理（连通子空间脚踏一只船），得$A_\beta\subset C$，这对所有$\beta$成立，因此$\bigcup A_\alpha\subset C$，故$D$竟然空，矛盾

定理 （连通拖家带口仍连通）
拓扑空间$X$有一连通子空间$A$，则对任何满足$A\subset B\subset \overline{A}$的$B$，$B$均连通

反证：若$B$不连通，则$B=C\cup D$，其中$C,D$满足……调用定理（连通子空间脚踏一只船），$A\subset C$或者$A\subset D$，则$\overline{A}\subset\overline{C}$，则根据定理（极限点描述连通），$\overline{A}\cap D=\varnothing$，则$B\cap D=\varnothing$，矛盾

定理 （连通的连续像仍连通）
两个拓扑空间之间，$f:X\to Y$连续，已知$X$连通，则$f(X)$连通。因此，与连通空间同胚的空间也连通

证明：由于第一篇的定理（连续函数构造）已知，限制值后仍连续，则限制$g: X\to f(X)$仍连续

反证：假设$f(X)=C\cup D$，其中$C,D$……，则$g^{-1}(C)$与$g^{-1}(D)$也开，且满足不互交，其并为$X$。这不是个分割吗！矛盾

这一定理的推论为：连通性是拓扑不变量！

紧致性

快速复习一下这些基础，不赘述

定义 （覆盖）
集合$X$的一个子集族$\mathscr{A}$，若$\mathscr{A}$的成员之并等于$X$，则称$\mathscr{A}$为$X$的一个覆盖（covering）

定义 （紧致）
拓扑空间$X$的任何一个开覆盖中，均能找到一个有限子覆盖，则称$X$紧致

定理 （子空间的紧致性）
紧致拓扑空间$X$的子集$Y$，（在子空间拓扑意义下）是紧致空间，当且仅当任意一个由$X$的开子集组成的、成员之并包含$Y$的子集族，都有个有限子集族，其并仍能包含$Y$

一方面，若$Y$紧致，任找$X$的一个开子集族能覆盖$Y$，每个成员都和$Y$相交，是个（子空间拓扑下）$Y$的开覆盖，根据$Y$紧致的假设，找到有限子集族。另一方面同理

我了解了个人之前理解时一些不严谨的地方，如，Munkres这个严谨的体系下，“紧致”这个形容词描述的是一个拓扑空间，而不是拓扑空间的一个子集，但默认了拓扑空间的子集都被赋予了子空间拓扑后，那也有资格说它们“紧致”与否了

在这个前提下，判断子空间是否紧致，刚才这个定理保证了，以前常用的那种方法是对的

注：遵循约定，今后对拓扑空间的子集都默认取了子空间拓扑，讨论“子集是不是紧致的”是合法的。“$Y$的覆盖”这个词在后文也泛指：原空间$X$的子集族，且其并包含子集$Y$

紧致集与闭集的关系

定理 （紧空间的闭子集紧）
紧致空间的闭子集，仍是紧致的

证明：方法是过河拆桥！紧致空间$X$的闭子集$A$，假设有个开覆盖，那再多添个$A^c$，则新的开覆盖都覆盖$X$了，由紧致性，当然能找到有限个开覆盖覆盖$X$！这有限个里，去掉$A^c$，就是要找的那个，覆盖$A$且有限的子覆盖 $\square$

定理 （Hausdorff空间的紧集闭）
Hausdorff空间的紧致子空间，都是闭集

证明：拓扑空间$X$是Hausdorff的，有个紧致子集$Y$，欲证$X-Y$开。即：对于任意的$x\in X-Y$，欲找其一个邻域在$X-Y$中。具体怎么找呢？

固定好刚才那个$x$，然后，对于每一个$y\in Y$，由Hausdorff性，存在$x\in U_y$以及$y\in V_y$，这样，$\bigcup\limits_{y\in Y} V_y\supset Y$自然成立

由$\bigcup\limits_{y\in Y} V_y\supset Y$及紧致假设，找到有限集$B$使得$\bigcup\limits_{y\in B} V_y\supset Y$，因此$\bigcap\limits_{y\in B} U_y\subset X-Y$，而且为有限个开集交，仍开，此即所求的$x$的邻域

与连续映射相关

定理 （紧集的连续像紧）
紧致空间的连续像是紧致的

证明：$f:X\to Y$是两个拓扑空间间的连续映射，则任意$f(X)$的开覆盖$\set{U _ \alpha} _ \alpha$，找$\set{f^{-1}(U _ \alpha)} _ \alpha$，发现这就是$X$的开覆盖，因此缩小成有限个，还能覆盖$X$的：$\set{f^{-1}(U _ \alpha)} _ {\alpha\in I}$（其中$I$是个有限的指标集）

这样，$\set{U_\alpha}_{\alpha\in I}$其实就是所求的$f(X)$的有限子覆盖，找到了 $\square$

这个定理的推论是：紧致性也是一个拓扑不变量！

定理 （判断同胚）
两个拓扑空间之间的映射$f:X\to Y$是连续的，且$X$紧致，$Y$Hausdorff，则$f$是个同胚

证明：回顾同胚的定义，我们只剩$f^{-1}$的连续性需要证明了。这里，我们用连续函数的等价刻画之：闭集的逆像仍闭

那么，任取一个$X$中闭集$U$，欲证：$(f^{-1})^{-1}(U)$仍是闭集（由于可逆嘛），即待证$f(U)$是闭集，而$f(U)$是紧致集的连续像，由定理（紧集的连续像紧），知$f(U)$紧致，而又由定理（Hausdorff空间的紧集闭），知$f(U)$闭。

至此，证明了闭集在$f^{-1}$下的逆像仍闭 $\square$

有用的有限交

定理 （用有限交刻画紧致）
拓扑空间$X$是紧致的，当且仅当$X$中具有有限交性质的所有闭子集族$\set{C_\alpha}_\alpha$，其所成员之交$\bigcap C_\alpha$非空

证明：套路很明确，用开/闭集的对偶关系以及De Morgan律

一方面，用反证法证明紧致。假设不紧致，则能取到一个开覆盖，它不存在有限子覆盖。现在，考察其中开覆盖逐个元素取补后，得到的一个闭集族，那么，这些闭集族之交为空（因为本身是开覆盖嘛）。而且“不存在有限子覆盖”即是说，这个闭集族的任意有限个之交不为空。但是闭子集族的“有限交性质”理应会推出“全体交仍非空”，矛盾！

另一方面，已知紧致，已有某一个具备有限交性质的闭子集族，欲证其全体交非空。翻译一下，将这个闭子集族中的所有成员取补，得到一个开子集族，欲证这个开子集族不覆盖$X$！这好办，用反证法，假设覆盖，则根据紧致假设，必有有限子覆盖，因此，原始的闭子集族中的有限个交为空，矛盾

这个定理很有用，是后续证明的一个强力武器，要记住！

预热—紧致空间的有限积

之后有个大定理是Tychonoff定理，讲的就是紧致空间之（任意）笛卡尔积仍然紧致。今天先证有限笛卡尔积热热身吧

定理 （Tube Lemma）
两个拓扑空间之积$X\times Y$，其中$Y$紧致，如果$N$是$X\times Y$中包含了薄片$x_0\times Y$的一个开集，则$N$必然包含着一个管子（tube）$W\times Y$，其中$W$是$x_0$在$X$中的邻域

思路：

想象一下二维版本的画面，$x_0\times Y$就是一个竖直细线，周围盖着一个开集$N$，然后细线可以被一个细的开管道包含住，开管道含在$N$里。

但是，万一$N$是个一端大、另一端逐渐缩小的开集怎么办？逐渐缩小有可能导致，不存在一个宽度能够塞入$W$了！想到这里，证明思路就出来了，正是紧致性（化无限为有限）保证了，不会逐渐缩小到任意小！

证明：

取定$x_0$后，由于所有$(x_0,y), \forall y\in Y$都在开集$N$里，根据定义（基生成的拓扑），必然有$U_\alpha \times V_\alpha$使得$(x_0,y)\in U_\alpha \times V_\alpha\subset N$，而$x_0\times Y$同胚于$Y$，因此是个紧致集！故减少到$\set{U_i \times V_i}_{i=1\dots n}$有限个就够了

现在，我就让$W:=U_1\cap\dots \cap U_n$即可，接下来看看是不是符合要求，符合的话就结束了！

$x_0\in W$这个显然，$W$当然也开

验证$\set{U_i\times V_i}_i$形成了一个$W\times Y$的开覆盖：按定义来呗，随便取一个$(x,y)\in W\times Y$，那么$x$自然在所有的$U_i$中，所以“横坐标”根本不用验证，再看“纵坐标”：回顾当时$(x_0,y)$这个点，必然有$j$使得$(x_0,y)\in U_j\times V_j$里，这保证$y\in V_j$！所以，$(x,y)\in U_j\times V_j$。因此，的确形成$W\times Y$的开覆盖

验证$W\times Y$在$N$中。这一点只要结合第一个bullet point以及上面的第2条即可说明：$W\times Y$被$\set{U_i\times V_i}$覆盖，而$\set{U_\alpha\times V_\alpha}$本身全在$N$里头，所以$W\times Y$在$N$里头

定理 （紧致空间的有限积紧致）
有限多个紧致空间的笛卡尔积是紧致的

证明：只需考察两个乘积$X\times Y$的形式。首先，假设$X\times Y$被一个开覆盖$\mathscr{A}$覆盖。因为$x\times Y$是紧致的，因此可以找到$\mathscr{A}$中有限个开集覆盖它，这有限个开集记为$\set{A_1,\dots ,A_n}$

回想刚证的定理（tube lemma），$\bigcup\limits_{i=1}^n A_i$的地位就是之前$N$的地位，然后套用一下，知，能够塞入一个tube，记为$W_x\times Y$，使得$x\times Y\subset W_x\times Y\subset \bigcup\limits_{i=1}^n A_i$

现在，我们把$x$跑起来。就有一族子集$\set{W_x\times Y}_x$。那么，$W_x$本身形成了$X$的开覆盖，因此有有限子覆盖$\set{W_1,\dots,W_m}$，那么，每一个$W_k\times Y$都回顾其构造时的那些有限开集$\set{A_1\dots A_n}$，所以，最后有限个有限开子集就覆盖了整个$X\times Y$，这就是$\mathscr{A}$的一个有限子覆盖

$\square$