Topology

拓扑基本概念

拓扑的基

定义 (拓扑) 集合$X$上的拓扑（topology）指：有一个子集构成的集合$\mathscr{T}$，开集（open sets）定义为它其中的元素，满足：

1. $\varnothing$和$X$本身是开集

2. 开集的有限交仍是开集

3. 开集的任意并仍是开集

定义了拓扑的集合，就升格为一个拓扑空间。以下$x$的邻域这一名词均指含$x$的开集

定义（基） 集合$X$有这样一个子集族$\mathscr{B}$，满足下面这两点，那么就是基（basis），其中的元素叫基元素：

1. $\forall x\in X$，$\exists B\in \mathscr{B}$，s.t. $x\in B$

2. 若$B_1,B_2\in \mathscr{B}$，且$x\in B_1 \cap B_2$，则存在$B_3\in \mathscr{B}$，s.t. $x\in B_3\subset B_1 \cap B_2 $

若成功规定好了基，便可由如下算法，用基生成拓扑：

定义（基生成的拓扑） 有了基$\mathscr{B}$后，用下面这句“开集检验”规则来定义$X$的一个子集$U$是否为开集：若对于$\forall x\in U$，均存在一个基元素$B$，s.t $x\in B\subset U$，那么$U$就是开集

这个规则定义出的拓扑确实是个拓扑，证明很容易：证任意并仍开，只需调用基满足的第一条要求；证有限交仍开，只需调用基满足的第二条要求

定理（基生成拓扑的形式） 一旦调用如上方法，用基生成了一个拓扑$\mathscr{T}$后，能发现，$\mathscr{T}$中的每个元素竟然都形如$\mathscr{B}$中元素的并！而且，$\mathscr{B}$中任意多个元素的并，也都在$\mathscr{T}$中，总之：$\mathscr{T} = \set{\bigcup\limits_{B\in \beta} B : \beta \subset \mathscr{B}}$

先证第一句话：

只需拿出任意一个$U\in \mathscr{B}$来，根据“它是基生成的拓扑中的一个开集”这一条件，就能知道，$\forall x\in U$，均有$x\in B_x\subset U$。这样，根据$U= \bigcup\limits_{x\in U}B_x$（很经典的方法），就把$U$表示成$\mathscr{B}$中元素的并了！

再证第二句话：

由于在$\mathscr{B}$生成拓扑的过程中，所有基元素们也能通过“开集检验”，所以当然基元素们也是开集，而开集任意并后仍开，故也在$\mathscr{T}$中

定理（由拓扑找对应的基） 给定$\mathscr{T}$，$\mathscr{B}$一旦满足下面这句条件，那么它就是一个基，而且$\mathscr{T}$恰好是由该基生成的：$\mathscr{B}$是$\mathscr{T}$的子集，满足对于$\mathscr{T}$中的每个元素$U$，$\forall x\in U$，均存在$B\in \mathscr{B}$使得$x\in B\subset U$

首先，证明的确是一个基：按部就班，根据基的那两个要求验证就行了

• 第一个要求：由于$X\in \mathscr{T}$，那么根据题设条件，$\forall x\in X , \exists B$ s.t. $ x\in B\subset X$

• 第二个要求：由于$\mathscr{B}$中的两个元素，就是$\mathscr{T}$中的两个元素，其交是在$\mathscr{T}$内的一个新元素，对于这个$\mathscr{T}$中的新元素用题设就行了

再者，证明该基生成了$\mathscr{T}$，双向包含：

• 一方面，用$\mathscr{B}$生成的拓扑是精细于$\mathscr{T}$的，因为每个$\mathscr{T}$中的元素，按照“基生成拓扑”的规则，都能通过“开集检验”

• 另一方面，本来这个$\mathscr{B}$就在$\mathscr{T}$里，一个基生成的拓扑就是基元素并啊并的结果（见定理基生成拓扑的形式），那$\mathscr{T}$里的元素，怎么并都仍然在里面。所以，$\mathscr{B}$生成的拓扑在$\mathscr{T}$里面，即$\mathscr{T}$比$\mathscr{B}$生成的拓扑更加精细

定义（子基） $X$的一个子集族$\mathscr{S}$，其中元素之并等于$X$，就称为子基(subbasis)

定义（子基生成的拓扑） $X$的一个子基$\mathscr{S}$中的元素进行有限交，再进行任意并，得到的集族，叫做子基生成的拓扑。即：

$\mathscr{T}=\set{\bigcup\limits_{B\in\mathscr{B’}}B:\mathscr{B’}\subset \mathscr{B}}$，其中$\mathscr{B’}=\set{S_1\cap S_2\cap\dots\cap S_n:S_i\in \mathscr{S},i=1,2,\dots n; n\in \mathbb{Z}^+ }$

验证这个规则定义出的$\mathscr{T}$确实是个拓扑，可以换一个角度，验证这个子基中的元素有限交后得到的集族$\mathscr{B}$是个基。根据定理（基生成拓扑的形式），这一点验证后，$\mathscr{T}$确实是个拓扑

• 验证基的第一个条件：$\forall x\in X$，存在$S\in \mathscr{S}$，s.t. $x\in S$（根据子基定义），而$S\in\mathscr{B}$也是天然的

• 验证基的第二个条件：取出$\mathscr{B}$的两个元素来，一个是$B_1 = S_1\cap\dots\cap S_m$，另一个是$B_2 = S_1’\cap\dots \cap S_n’$，因此其交$B_1\cap B_2 = S_1\cap\dots\cap S_m\cap S_1’\cap\dots \cap S_n’$仍然是一个有限交的形式，根据$\mathscr{B}$的定义，在$\mathscr{B}$内

子空间拓扑

定义（子空间拓扑） 设$(X,\mathscr{T})$是一个拓扑空间，若$Y$是其子集，则族$\mathscr{T}_Y = \set{Y\cap U: U\in\mathscr{T}}$就称为$Y$上的拓扑，叫子空间拓扑

验证一下的确是个拓扑：拓扑的三条都很容易验证。

定理（子空间拓扑的基） 如上，若$X$的拓扑$\mathscr{T}$对应的基为$\mathscr{B}$，则$\mathscr{B}_Y =\set{B\cap Y:B\in \mathscr{B}}$就是$Y$上子空间拓扑的基

证明：现在已经有了子空间拓扑，要看其基，不难想到使用定理（由拓扑找对应的基），那么，只需验证：

• $\mathscr{B}_Y$是$\mathscr{T}_Y$的一个子集，由于$B\in\mathscr{B}\subset\mathscr{T}$，这点显然

• 对于$\mathscr{T}_Y$中的每个元素$U\cap Y$，$\forall x\in U\cap Y$，那么自然$x\in U$，根据$X$里面的基要求有的性质，存在$B\in \mathscr{B}$使得$x\in B\subset U$，所以$x\in B\cap Y\subset U\cap Y$

以上两条得到验证，这个$\mathscr{B}_Y$就是子空间拓扑对应的基

定理（开集，开集？开集！） 若$Y$是拓扑空间$X$的开子集，则$Y$的子集$V$是$Y$（子空间拓扑下）的开集，当且仅当$V$是$X$中的开集

要看清楚取的是原来的拓扑还是子空间拓扑哦

一方面，在原始空间里，若$V$已经是$X$的开集，但$V$本来又是$Y$的子集，所以$V=V\cap Y$，根据子空间拓扑的定义，就是子空间拓扑下的开集

另一方面，在子空间里如果是开集，则形如$V=U\cap Y$，而这不就是两个开集之交的形式嘛！当然开

闭集

闭集相关

定义（闭集） 拓扑空间$X$中，$A$称为一个闭集，当且仅当$X-A$开。（用闭集定义拓扑的方法不再赘述，总之闭集任意交还是闭，有限开还是开）

定理（子空间拓扑下的闭集） $X$的一个子空间$Y$，则$Y$的子集$A$是$Y$中（子空间拓扑下）的闭集当且仅当$A$是$X$中的一个闭集与$Y$之交

证明很简单，两边都不难

定理（闭集，闭集？闭集！） 若$Y$是拓扑空间$X$的闭子集，则$Y$的子集$A$是$Y$（子空间拓扑下）的闭集，当且仅当$A$是$X$中的闭集

一方面，若$A$真是$X$中闭集，那么$A=A\cap Y $形如闭交$Y$，根据上一条定理（子空间拓扑下的闭集），知道$A$也是子空间拓扑下的闭集

另一方面，若$A$是子空间拓扑下的闭集，根据上一条定理（子空间拓扑下的闭集），$A=K\cap Y$，其中$K$是$X$中的闭集，这样子，形如$X$中的两个闭集之交，当然在$X$中仍闭！

闭包与极限

定义（内部与闭包） 拓扑空间$X$的一个子集$A$的内部（interior），指的是所有含于$A$内的开集之并（当然也开），其闭包（closure）则定义为所有包含$A$的闭集之交（当然也闭）

定理（子空间拓扑下闭包的表示） 若$Y$是$X$的子空间，$A\subset Y$，$\bar{A}$表示$X$中拓扑下$A$的闭包。结论是：$A$在子空间拓扑下的闭包就是$\bar{A}\cap Y$

证明：暂且先给$A$在子空间拓扑下的闭包找个符号，用$A^\ast$记之

一方面，因为$\bar{A}$在$X$中闭，而且根据定理（子空间拓扑下的闭集）知，$\bar{A}\cap Y$就是子空间拓扑下的闭集，而且$\bar{A}\cap Y\supset A\cap Y = A$，故根据闭包定义，只会交的更小，$A^\ast \subset \bar{A}\cap Y$

另一方面，因为$A^\ast$是子空间意义下的闭集，因此仍然根据定理（子空间拓扑下的闭集）知，存在一个$X$中的闭集$K$，使$A^\ast = K\cap Y$，那么，$A\subset K$显然，在$X$中用闭包的定义，可知$\bar{A}\subset K$，因此$\bar{A}\cap Y\subset K\cap Y = A^\ast$

$\square$

定理（借用邻域描述闭包） 若$A$是拓扑空间$X$之子集，$x\in \bar{A}$当且仅当$x$的所有领域与$A$交集非空

证明：证其逆否命题：$x\notin \bar{A}\iff$存在一含$x$的开集$U$与$A$无交

因为这样的话，$X-\bar{A}$天然是一个含有$x$的，且与$A$无交的开集。另一方面，如果$U$与$A$无交，则必定$X-U$是含$A$闭集，根据闭包定义，$\bar{A}\subset X-U$，那$x\notin \bar{A}$

定理（借用基描述闭包） 若$X$的拓扑对应的基为$\mathscr{B}$，则$x\in \bar{A}$当且仅当包含$x$的所有基元素与$A$交集非空

• 一方面，基元素也是开集，所以一旦$x\in \bar{A}$，借用上一条定理（借用邻域描述闭包）即可得基与$A$交集非空

• 另一方面，一旦基元素与$A$之交集非空，那么任取一个$x$的邻域后，根据定义（基生成的拓扑）可知，该邻域内部含个基，基和$A$有交暗示着该邻域和$A$有交，因此再调用上一条定理（借用邻域描述闭包）可知，$x\in \bar{A}$

下面两个定义更加自然，在此陈述之：

定义（极限点） 拓扑空间$X$的一个子集$A$，若$x\in X$，满足下面这句条件，则$x$称为$A$的极限点（limit point）：任何$x$的邻域与$A$的交集含有除$x$外的点

当然，如果存在一个$x$的邻域与$A$竟然无交，那当然不满足该条件

定理 （闭包和极限点关系） $\overline{A}=A\cup A’$，其中$A’$是所有$A$的极限点的集合

证明：双向包含，一方面，核心是证$A’\subset \overline{A}$，只需用定理（借用邻域描述闭包）。另一方面，核心是，若$x\in A’-A $，根据定义，必然所有邻域都与$A$交非空，而且$x$自己就在交集里且本身不属于$A$，看看极限点定义，结束

定义（收敛） 拓扑空间$X$中有一个序列$x_1,x_2,\dots$，还有一个点$x\in X$，若，对任何一个$x$的邻域，存在一个$N$，使得$n>N$时，$x_n$都在该领域内，则称$\set{x_j}_j$收敛到$x$

连续映射

定义（连续映射） 这个定义也是耳熟能详的，$X$与$Y$两个拓扑空间，$f:X\to Y$是连续的，意思是任何一个$Y$中开集$V$的逆像$f^{-1}(V)$是$X$中的开集

定理（连续？看基/子基） 如果想要证明一个映射是连续的，按定义的做法是：任取一个开集，然后证明其逆像是开集。不过事实上，只需证明基元素的逆像仍开，或者只需证明子基元素的逆像仍开就行了

证明：用了“逆像保交并”这一十分良好的性质，证明十分简单：若基元素$B_\beta$上都验证了，那$f^{-1}(V)=f^{-1}(\bigcup B_\alpha)=\bigcup f^{-1} (B_\alpha)$，自然是开集之并仍开……子基同

连续映射的性质

定理（连续，用“闭”描述） 两个拓扑空间间的映射$f: X\to Y$，以下条件是等价的：

1. $f$连续

2. $\forall A\subset X$，都有$f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$

3. 对于$Y$任意一个闭集$B$，其逆像$f^{-1}(B)$在$X$中闭

证明顺序：1推2推3推1

• 若连续，欲证一旦$x\in \bar{A}$，就有$f(x)\in \overline{f(A)}$，回顾定理（借用邻域描述闭包），即证明“一旦$x\in \bar{A}$，就有$f(x)$的所有邻域都与$f(A)$有交”。如何证之？任取$f(x)$的邻域$V$，其逆像$f^{-1}(V)$为开且天然含$x$，再由该定理（借用邻域描述闭包），该逆像$f^{-1}(V)$中必然有$A$中的点，不妨记它为$a$，所以有$f(a)\in V$，这就说明$f(x)$怎么取邻域都会和$f(A)$碰在一起，再由该定理（借用邻域描述闭包）即得$f(x)\in \overline{f(A)}$

• 若满足第二条，推第三条如下：任取$Y$中闭集$B$，若证出$f^{-1}(B)\supset \overline{f^{-1}(B)}$就结束了，那就开始吧！任取$x\in \overline{f^{-1}(B)}$，由假设，$f(x)\in \overline{f(f^{-1}(B))}\subset \overline{B}=B$（这里的包含于关系，请回顾初等集合论，是“集之常情”），因此$x\in f^{-1}(B)$，结束

• 若满足第三条，欲推出连续。光读这题面就知道，用一下开闭的互补关系就好了

下面这个定理，我加了引号表虚拟语气，因为我们讨论的不是真正的$\epsilon-\delta$定义。毕竟，我们面对的不一定是度量空间，哪来的距离概念呢？但是这里和以前$\epsilon-\delta$定义的那种精神是一样的，所以我给它取这个名字

定理（与“$\epsilon-\delta$”定义的等价） 两个拓扑空间间的映射$f: X\to Y$是连续的，当且仅当对于所有$x\in X$均有：任取$f(x)$的一个邻域$V$，都能找到$x$的邻域$U$使得$f(U)\subset V$

证：

连续推“$\epsilon-\delta$”，直接令$U=f^{-1}(V)$即可

“$\epsilon-\delta$”推连续，任取一个开集$V$，$f^{-1}(V)$中每一个$x$都有$x\in U_x\subset f^{-1}(V)$，而且$f^{-1}(V) = \bigcup\limits_{ x\in f^{-1}(V)}U_x$，形如开集之并，因此开

同胚

定义（同胚） $X$与$Y$是拓扑空间，$f:X\to Y$是一个双射，若$f$和其逆映射均连续，则称$f$为同胚（homeomorphism）

同胚就是说两个拓扑空间“很像”的最高要求，同胚映射是保持代数结构的。$f$是同胚，当且仅当$f(U)$是开集的充要条件是$U$是开集

构造连续函数

定理（各种连续函数列举） 设$X$，$Y$，$Z$均为拓扑空间：

1 常值函数

证明：对其逆像进行列举，要么$\varnothing$要么$X$，当然都是开的

2 内射，即对于$X$的子集$A$，内射$j: A\to X$

证明：因为$j^{-1}(U) = U\cap A$，按子空间拓扑，的确开

3 连续映射复合

证明：略

4 连续函数被限制定义域后$f|A: A\to Y$连续

证明：$f|A = f \circ j$，复合自然也连续

5 限制或扩大$Y$，$f:X\to Y$连续，$Z$满足$f(X)\subset Z\subset Y$，则$f$限制为$g:X\to Z$也连续；若$Z\supset Y$，则扩大$h:X\to Z$也连续

证明：

对于$g$而言，$Z$中的一个开集$V$，根据子空间拓扑必有$V=U\cap Z$，其中$U$是$Y$中的一个开集，因此$g^{-1}(V)=f^{-1}(U\cap Z) = f^{-1}(U)\cap f^{-1}(Z)$，根据$f(X)\subset Z$，可知$X = f^{-1}(Z)$，因此$g^{-1}(V) = f^{-1}(U)$根据$f$连续，知$g^{-1}(V)$开

对于$h$而言，$h = f\circ j$，因此连续

6 局部连续促成连续：若$X=\bigcup\limits_\alpha U_\alpha$，其中每一个$U_\alpha$都是开集。$f$限制后，每一个$f|_{U_\alpha}$均连续，则$f$连续

证明：

第一步，任取$Y$中一个开集$V$，利用$f^{-1}(V)\cap U_\alpha = \set{x:f(x)\in V , x\in U_\alpha} = f|_{U_\alpha}^{-1}(V)$，由假设，该集合是$U_\alpha$中的开集，由定理（开集，开集？开集！）得，也是$X$中的开集

第二步，由于$f^{-1}(V) = \bigcup (f^{-1}(V)\cap U_\alpha) $，可$f^{-1}(V)$就是这么多$X$中开集的并，因此是$X$中的开集