Real Analysis微分（MIRA）本篇核心内容梗概首先介绍Hardy-Littlewood极大不等式，不过，为此需介绍一些前置的概念，包括$\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$相关的内容。其中，定理（连续函数逼近$\mathcal{L}^1(\mu)$成员）的证明又需要阶梯函数相关的很多结论，为不影响主线，暂略 在Hardy-Littlewood极大不等式以及（曾经接...

流形与张量场教材：微广 by 梁灿彬 （物理学导向） 拓扑空间基本的拓扑知识回忆 定义 （拓扑）集合$X$上的拓扑指：有一个其子集构成的集合$\mathscr{T}$，开集就定义为它其中的元素，满足： 空集和$X$本身是开集 开集的有限交仍是开集 开集的任意并仍是开集 我们知道，在一般的拓扑空间中，连续的定义是“开集的逆像仍开”，而在度量空间上这等价于$\epsilon-\delt...

Real Analysis积分（MIRA）本篇核心内容梗概快速过一遍积分的基本概念，包括： 定义的建立 基本性质的导出 定义的扩展 然后开始讨论积分与极限的关系： 积分的分析性质 本篇将以“控制收敛定理”结尾 定义建立定义 （$\mathcal{S}$分拆）$(X,\mathcal{S})$是一个可测空间，$\mathcal{S}$分拆，指的就是一个有限的、成员互相无交的集族$...

Real AnalysisLuzin的博士论文指导老师正是Egorov 可测函数收敛专题（MIRA）本篇核心内容梗概两个定理—Egorov定理和Luzin定理 Egorov定理 引入动机：早在数学分析课程中学习函数项级数时，我们就发现很多函数序列不是一致收敛的。但是，往往抠掉一个很小的区间，在剩下的集合上就能够一致收敛了，这不禁引人深思……也许，Egorov就是其中一位思考者 我们即将看...

Real AnalysisLebesgue的博士论文指导老师正是Borel Lebesgue测度（MIRA）核心内容梗概上一篇中，了解到外测度的缺陷。此外，辛辛苦苦定义了许多抽象结构（描述了理想的测度是什么样的结构）。现在终于是时候来构建一个具体的测度看看了 也就是说，我们给出什么是“好的”集合，然后把外测度限制在这些“好的”集合上，这样就行了!这无伤大雅。因为我们将看到，“不好的”集合都...

Real Analysis测度空间（MIRA）回顾与铺垫常用技术回顾： （逆像的优秀性质） $f^{-1}(\bigcap A_\alpha)=\bigcap f^{-1}(A_\alpha)$，$f^{-1}(\bigcup A_\alpha)=\bigcup f^{-1}(A_\alpha)$ 对于$f:X\to Y$，$f^{-1}(Y-A)=X-f^...

Topology度量化基本概念什么是度量？相信大家早已倒背如流：满足正定、对称、三角不等式的balabala，所以我们直接进入正题，本节的问题是：哪些拓扑空间，能被度量化呢？ 定义 （度量拓扑）集合$X$上定义了度量$d$，那么全体$\epsilon$-球$B(x,\epsilon)$的族，作为一个基，这个基对应的拓扑就叫，由$d$诱导的度量拓扑 验证一下全体$B(x,\epsilon)$...

Topology“深刻的定理” Urysohn 引理定理 （Urysohn引理） 设有个正规空间$X$，其中两个无交闭集$A$和$B$，$[a,b]$是实直线上的一个闭区间，则存在一个连续映射$f:X\to [a,b]$，使得对于所有$x\in A$都有$f(x)=a$，对于所有$x\in B$都有$f(x)=b$ 证明：首先用个线性双射便可以说：不妨，取$[a,b]&...

Topology可数、分离可数性下面只讲更强的第二可数（第一可数略），第二可数非常强，有些度量空间甚至不是第二可数的 定义 （可数性）若拓扑空间$X$具有可数基，则称$X$满足第二可数性公理，或称$X$是第二可数的 定义 （稠密）拓扑空间$X$的子集$A$，若满足$\overline{A}=X$，则被称为是稠密的， 定理 （第二可数继承）第二可数空间的子空间是第二可数的 证明：注...

Topology之前讲了那么多抽象的结构，本次就来见一下实物图吧 当然，实物图也不完全是真实具象的，我们的讨论仍然基于提取出的实轴的一些抽象特征 本篇跳过，也不会有任何抽象层面的影响 实物图—实轴当序拓扑遇上连通实轴上的连通性大家都很熟了，只不过在现在来看，能看得更加“抽象”一点：原先想的是实数、有理数等等具体的对象，现在想的全是序等抽象的结构！ 定义 （线性连续统）元素多于一个的全序集$L...