Real Analysis

Gödel是Hahn的博士生

Banach空间 上篇（MIRA）

本篇核心内容梗概

先回顾度量空间以及赋范线性空间的概念，然后着重讨论有界/连续线性映射……至此为止，一切都与线性空间的“维数”概念无关

接着，讨论线性空间的维数，适用于通常情况（含无限维）的一些定义

然后，发现有限维与无限维十分不同，比如，无限维赋范线性空间中，必定存在不连续的线性泛函！不过，我们更关心连续的线性泛函。这又引发一个问题，那就是，连续的线性泛函一定存在吗？答案将在Hahn-Banach定理中给出

度量空间

这种很熟悉的东西就不多提了，在度量空间的背景下，简单过一下几个结论：

“序列引理”双向成立（见Munkres拓扑，定理21.2）：序列若收敛，则极限点在闭包中；闭包中一点，必能找到收敛于它的序列。

连续函数的等价定义：

1. 开集的逆像仍开

2. 闭集的逆像仍闭

3. $\varepsilon-\delta$定义

4. $\lim\limits_{k\to\infty} x_k = x \implies \lim\limits_{k\to\infty} T(x_k) = T(x)$

当然，第三条在度量空间的背景下才可能被“写出来”；第四条需在度量空间的大背景下，才和“连续”等价（见Munkres拓扑，定理21.3）

约定：（如同子空间拓扑那里一样）今后，默认度量空间的子集上，取了从原空间那里继承下来的度量

定义 （Cauchy列）
度量空间$(V,d)$中的序列$f_1,f_2\dots$被称为Cauchy列，如果对于任何$\varepsilon>0$，均存在$N\in\mathbb{Z^+}$满足：$\forall n,m \geq N$均有$d(f_m,f_n)<\varepsilon$

显然，收敛序列必然是Cauchy列，反之则不一定

定义 （完备的度量空间）
若该度量空间中的所有Cauchy列都收敛，那么该度量空间被称为完备的！

定理 （完备与闭）

1. 一个度量空间$(V,d)$的完备子集$(U,d\vert_U)$一定是闭子集
2. 一个完备的度量空间$(V,d)$中的闭子集$(U,d\vert_U)$是完备的

证明：

1. 先在$V$中取一个收敛列（因此在$d$看来是Cauchy的），使得，序列中的每一项都在$U$中（但极限不清楚在哪）。由于$U$取了继承下来的度量$d\vert_U$，因此该列在$U$中也是Cauchy的。由$U$的完备性，得，该序列在$U$中收敛。因此，整件事在$V$的视角下看，可以重述如下：$U$中元素组成的一个序列，若收敛，则极限在$U$中。故$U$为闭集（依据：Munkres定理21.2，序列引理）

2. 在这个闭子集$U$里取一个Cauchy列，由度量的继承关系，在$V$里看仍然是Cauchy列，因此在$V$中收敛。由于$U$是$V$中的闭子集，因此，在$U$中序列的极限仍在$U$里。所以弄了半天，$U$里的Cauchy列收敛

赋范线性空间

线性空间（向量空间）的相关概念早已熟知不再复述，现在引入范数概念：

定义 （范数）
$\mathbb{F}$上线性空间$V$，其上的范数定义为，符合以下三条的一个映射$\Vert\cdot\Vert: V\to[0,\infty) $：

1. 正定：$\Vert f\Vert=0\iff f=0$

2. 齐性：$\Vert \alpha f\Vert = \vert \alpha\vert\Vert f \Vert$

3. 三角不等式：$\Vert f+g\Vert\leq \Vert f\Vert+\Vert g\Vert$

赋予了范数结构的线性空间，成为赋范线性空间

注意： $\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$这个向量空间（回顾“微分”一篇）上，$\Vert\cdot\Vert_1$并不是一个范数！原因在于“正定性”不满足，$\Vert f\Vert_1 = 0$不代表$f=0$，因为他可以在一个零测集上自由发挥

赋范线性空间，只用取$d(f,g) = \Vert f-g\Vert$，即成为一个度量空间。从今往后，都默认这么取

定义 （Banach空间）
一个完备的赋范线性空间，就称为Banach空间

下面这个定理给出了判别一个空间是Banach空间的方法，回顾学数列时的定理“一个绝对收敛的序列必定收敛”，现在回头看，原来这定理不是在随便哪个空间都成立的！

定理 （Banach空间等价描述）
一个空间 “是Banach空间”的充分必要条件是“$\sum\limits_{k=1}^\infty\Vert g_k\Vert<\infty \implies \sum\limits_{k=1}^\infty g_k$收敛”

证明：

1. 一方面，若是Banach空间，则任找一个满足$\sum\limits_{k=1}^\infty\Vert g_k \Vert\leq \infty$的序列，则存在$n$使得$\sum\limits_{k=n}^\infty \Vert g_k\Vert < \varepsilon$，定义部分和记号$f_j=g_1+\dots + g_j$，则显然$f_1,f_2\dots$是一个Cauchy列，因为任意的$k>j>n$都有$\Vert f_k -f_j\Vert$小于$\varepsilon$（用一下三角不等式），因此该空间中有其极限$f$，这就是说，$\sum\limits_{k=1}^\infty g_k$收敛

2. 另一方面，任取一个Cauchy列$f_1,f_2\dots$，我们的计划就是，构造它的一个收敛子列，这样它就收敛了（这很容易验证，是证明一个Cauchy列收敛的常用套路），那如何构造收敛子列呢？如下呈现，这个构造技巧我称为“加速收敛技巧”：

• 选取一个$n_1$，使得$\forall j,k>n_1$时，都有$\Vert f_j -f_k \Vert < \frac{1}{2}$成立，我们将该指标对应的元素$f_{n_1}$收入囊中

• 在$n_{i-1}$确定之后，在后面找到一个数$n_i$，使得$\forall j,k>n_i$时，都有$\Vert f_j -f_k \Vert < \frac{1}{2^i}$成立，这样，我们将该指标对应的元素$f_{n_i}$收入囊中……

• 于是，得到一个序列$\set{f_{n_0},f_{n_1},f_{n_2},\dots}$，其中$f_{n_0}=0$是人为补的，于是$\sum\limits_{k=1}^\infty (f_{n_k}-f_{n_{k-1}})$是绝对收敛的，因为$\sum\limits_{k=1}^\infty \Vert f_{n_k}-f_{n_{k-1}}\Vert < \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{2^{k-1}}<\infty$

• 根据假设，$\sum\limits_{k=1}^\infty (f_{n_k}-f_{n_{k-1}})$收敛，即，$f_{n_1},f_{n_2}\dots$这一子序列收敛。这下就找到了原始序列的一个收敛子列了！证出该空间是Banach

有界线性映射

定义 （线性映射的范数）
两个向量空间之间的线性映射$T:V\to W$其范数定义为（注意以下公式中，虽然都用了$\Vert\cdot\Vert$符号，但实际是不同空间中的）：
$$
\Vert T\Vert=\sup\set{\Vert T f\Vert :f\in V , \Vert f\Vert\leq 1}
$$
那些满足$\Vert T\Vert<\infty$的就是有界线性映射，其全体即为$\mathcal{B}(V,W)$，$\Vert \cdot\Vert$是$\mathcal{B}(V,W)$上合法的范数！

验证一下，关键是三角不等式：
$$
\begin{align*}
\Vert S+T\Vert & =\sup\set{\Vert Tf+Sf \Vert:f\in V,\Vert f \Vert\leq 1} \leq \sup\set{\Vert Tf \Vert+ \Vert Sf \Vert:f\in V,\Vert f \Vert\leq 1} \\
& \leq \sup\set{\Vert Tf \Vert:f\in V,\Vert f \Vert\leq 1} + \sup\set{\Vert Sf \Vert:f\in V,\Vert f \Vert\leq 1} =\Vert S\Vert + \Vert T \Vert
\end{align*}
$$

定理 （打到Banach空间的有界线性映射构成Banach空间）
假设$V,W$是赋范线性空间，且$W$是Banach空间，则$\mathcal{B}(V,W)$是Banach空间

证明：随便取一个$\mathcal{B}(V,W)$中的Cauchy列，固定一个$f\in V$。由于$\Vert T_if -T_j f\Vert\leq \Vert T_i - T_j\Vert \Vert f \Vert$，因此$\set{T_i}_i$是Cauchy列就推出$\set{T_if}_i$也是Cauchy列

正中下怀，$W$是Banach的性质在这里用上，推出$T_i f$收敛，可以定义其极限$T f$。对于任何$W$中的元素，都可以这样做，因此映射$T$就这样被定义出来了！

验证$T$确实是线性的（因为$T_i$的线性，每一项都展开…略）再验证$T$确实是有界的：$\Vert Tf\Vert\leq \sup\set{\Vert T_k f\Vert: k\in \mathbb{Z_+}}\leq \sup\set{\Vert T_k\Vert :k\in \mathbb{Z_+}} \Vert f \Vert$，当然，Cauchy列必定是有界的，这也就说明$ \sup\set{\Vert T_k\Vert :k\in \mathbb{Z_+}} <\infty$

最后，我们要问$\set{T _ i} _ i$是否在$\mathcal{B}(V,W)$的范数意义下收敛到$T$？只需要根据Cauchy列定义，有$\Vert T _ j -T _ k \Vert< \varepsilon$，对于$\forall j,k>n$成立。因此，$\Vert (T _ j-T _ k)f\Vert \leq \varepsilon \Vert f \Vert$。取极限得到：$\lim\limits _ {k\to\infty} \Vert (T _ j-T _ k)f\Vert \leq \varepsilon \Vert f \Vert$，又由于$\lim\limits _ {k\to\infty} \Vert (T _ j-T _ k)f\Vert = \Vert (T _ j -T) f\Vert$（回顾$T$是如何构造出来的，该等式就懂了）。因此$\Vert (T _ j- T)f\Vert\leq \varepsilon \Vert f \Vert$成立，此即说明$\Vert T _ j -T\Vert\leq \varepsilon$

$\square$

定理 （线性映射有界即连续）
从一个赋范线性空间到另一个赋范线性空间的线性映射，有界与连续等价

证明：假设$T:V\to W$

一方面，若$T$不是有界的，则存在一个序列$f_1,f_2\dots$，满足$\Vert f_k \Vert \leq 1$，且$\Vert T f_k\Vert \to \infty$。这样的话，就有$\lim\limits_{k\to\infty} \frac{f_k}{\Vert T f_k \Vert} =0$，但是$T(\frac{f_k}{\Vert T f_k \Vert}) = \frac{T f_k}{\Vert T f_k \Vert} $不趋于0（范数为1），故$T$不是连续的

另一方面，假设$T$有界，则任取一个序列$f_1,f_2,\dots$收敛到$f\in V$，都有$\Vert Tf_k -Tf\Vert\leq \Vert T\Vert\Vert f_k -f\Vert$，因此随着$k\to \infty$，等式右边趋于零，故$Tf_k$依范数收敛到$Tf$，即$\lim\limits_{k\to \infty} T f_k =Tf$，确实连续

$\square$

定理 （有界线性泛函的等价条件）
设$V$是一个赋范线性空间，$\varphi:V\to \mathbb{F}$是一个非零线性泛函，那么以下条件互相等价：

1. $\varphi$是有界线性泛函

2. $\varphi$是连续线性泛函

3. $\text{null} \varphi$是$V$的一个闭子空间

4. $\overline{\text{null}\varphi} \neq V$

证明：1与2的等价直接来自上一个定理（线性映射有界即连续），而在$\mathbb{F}$的特殊性（有除法运算）的帮助下，能够推得后面两条也与之等价

先看2推3，由于已经连续了，闭集的逆像是闭集，因此$\text{null}\varphi = \varphi^{-1}(\set{0})$是闭集

再看3推1，等价于证明“非1则非3”，假设$\varphi$无界，则存在一个$V$中的序列$f_1,f_2\dots$，它虽然每一项都$\Vert f _ k\Vert\leq 1$，但是$\vert \varphi(f _ k)\vert \geq k \text{ for }\forall k\in \mathbb{Z} _ +$。注意到$\varphi$作用到$\frac{f _ 1}{\varphi(f _ 1)}-\frac{f _ k}{\varphi(f _ k)}$这个式子上恰好为零，因此$\frac{f_1}{\varphi(f _ 1)}-\frac{f _ k}{\varphi(f _ k)}\in \text{null} \varphi$，但是运用连续函数的等价定义之一，$\lim\limits _ {k\to\infty} \left(\frac{f _ 1}{\varphi(f _ 1)}-\frac{f _ k}{\varphi(f _ k)}\right) = \frac{f _ 1}{\varphi(f _ 1)}$，但是$\varphi(\frac{f _ 1}{\varphi(f _ 1)})=1$所以$\frac{f _ 1}{\varphi(f _ 1)}$并非是$\text{null}\varphi$中的元素。总结一下，就是找到了一列$\text{null}\varphi$中的元素，但是其极限跑到外面去了，故不是闭的

再看3推4。这点显然（回顾$\varphi$不是零映射的这条假设，立刻能懂）

再看4推3。等价于证“非3则非4”，假设$\text{null}\varphi$不是闭的，那么能够在$\overline{\text{null}\varphi}-\text{null}\varphi$中找到一个成员$f$!我们企图利用这个$f$张成的子空间以及$\text{null}\varphi$来分解所有的$V$中元素，如下。$\forall g\in V$，有$g = \left( g - \frac{\varphi(g)}{\varphi(f)}f\right)+\frac{\varphi(g)}{\varphi(f)}f$，大括号里的这项在$\text{null}\varphi$里，而大括号外那项在$\overline{\text{null}\varphi}$里。所以，等式右边两项全在$\overline{\text{null}\varphi}$里。又由于$\overline{\text{null}\varphi}$是一个子空间（子空间的闭包仍是子空间），所以根据加法封闭性，$g$也在$\overline{\text{null}\varphi}$里，那么$V\subseteq \overline{\text{null}\varphi}$，证毕

$\square$

无穷维赋范线性空间

现在开始，要着重关注有限维与无限维向量空间的区别，切忌自动带入有限维向量空间的结论，切忌使用线性代数中得到的“直觉”

定义 （基、线性无关、张成）
如下定义中，$\set{e_k}_{k\in\Gamma}$是向量空间$V$中的一个（元素）族，注意这里的指标集$\Gamma$可以是任意的（有限集时，退化为以前学的）

1. 若找不到一个有限集合$\Omega\subset \Gamma$以及 $\set{\alpha _ j} _ {j\in \Omega}, \alpha _ j\in \mathbb{F}-{0}$，使得$\sum\limits _ {j\in \Omega} \alpha _ j e _ j = 0$，那么$\set{e _ k} _ {k\in \Gamma}$被称为线性无关的

2. $\set{e_k} _ {k\in\Gamma}$的张成（span），记为$\text{span}\set{e_k} _ {k\in \Gamma}$，定义为：任一有限子集$\Omega\subset \Gamma$，以及任意$\set{\alpha_j} _ {j\in \Omega}$，全体$\sum\limits _ {k\in \Omega} \alpha _ k e _ k$的集合

3. 若能找到一个有限集合$\Gamma$使得$\text{span}\set{e_k} _ {k\in \Gamma} = V$ 这样的$V$称为有限维的向量空间。否则，称为无限维向量空间

4. 若一个族满足，其本身线性无关，且张成既等于$V$，则被称为$V$的基

值得注意的是，这里的span定义仍然根据有限项求和！不涉及无限

下面来回顾“极大元”定义：取包含关系为偏序关系为例，$\mathcal{A}$中的极大元$\Gamma$指的是：不存在$\Gamma’\in \mathcal{A}$，使得$\Gamma \subsetneq\Gamma’$的那种集合$\Gamma$

定理 （基等价于极大元）
给定向量空间$V$，一个子集能成为$V$的基，等价于它是全体“线性无关子集”形成的集族中的极大元

证明：双向包含

定义 （链）
$\mathcal{C}$是一个集族，以$V$的子集为元素。若$\Gamma,\Omega\in \mathcal{C}$意味着要么$\Gamma \subset \Omega$要么$\Omega\subset \Gamma$，那么这样的$\mathcal{C}$被称为链（chain）

定理 （Zorn引理）
假设$V$是一个集合，$\mathcal{A}$是以$V$的子集为元素的集族，满足：对于任何一个链$\mathcal{C}\subseteq \mathcal{A}$，$\mathcal{C}$中成员全体之并都属于$\mathcal{A}$，那么，$\mathcal{A}$中存在极大元

回顾之前更一般的Zorn引理：具有偏序关系的一个非空集合$\mathcal{A}$，如果，任何其全序子集都具有上界（就是说大于等于全序子集里每一个成员的元素），那么，$\mathcal{A}$便具有极大元

在我们的需求中，偏序关系就是集合包含关系。上面的定理表述，其实就是我们用“链”这个名词，重新陈述Zorn引理的一个特例

Zorn引理本质是选择公理，与其叫“定理”，不如把它当公理承认

定理 （基的存在性）
任何向量空间都存在基

这是Zorn引理的推论，充分展现Zorn引理的强大

取$\mathcal{A}$为：所有$V$中线性无关子集组成的集族。那么，$\mathcal{A}$满足Zorn引理的要求：验证一下，关键是注意到定义 （基、线性无关、张成）中用的是有限和

因此，使用Zorn引理并结合定理（基等价于极大元）即可

定理 （无穷维，不连续线性泛函存在）
所有无穷维赋范线性空间中，都存在不连续的线性泛函

证明：构造

Hahn–Banach定理

定理 （延拓引理）
假设$V$是一个$\mathbb{R}$上的赋范线性空间，$U$是其子空间，$\psi: U\to\mathbb{R}$是一个有界的线性泛函。假设$h\in V-U$，则$\psi$可以被延拓为另一个线性泛函$\varphi: U+ \mathbb{R} h \to \mathbb{R}$，且使得$\Vert \varphi \Vert = \Vert \psi \Vert$

证明：任取$c\in\mathbb{R}$，可以定义$\varphi(h) = c$，接着，根据线性的要求，必须继续按照$\varphi(f+\alpha h)=\psi(f)+\alpha c$的方法来定义（验证well defined，因为拆解方式唯一）

那么显然$\varphi\vert_U = \psi$，我们接下来只要证明，可选到一个合适的$c$，使得$\Vert \varphi \Vert=\Vert \psi\Vert $得到满足。这只用证明，对于任意的$f\in U$以及$\alpha\in\mathbb{R}$都有：$\vert \psi(f) +\alpha c \vert\leq \Vert \psi\Vert \Vert f+\alpha h\Vert$成立（因为另一方向$\Vert\varphi\Vert\geq \Vert \psi\Vert$是显然的）

等价于证明$\vert \psi(f) +c\vert\leq \Vert \psi\Vert \Vert f+h\Vert\text{ for }\forall f\in U$，把该式重写，就是$-\Vert \psi\Vert \Vert f+h\Vert -\psi(f)\leq c\leq \Vert \psi\Vert \Vert f+h\Vert -\psi(f)$

因此，核心是说明存在一个这样的$c$满足上式。我们断言，当$f$取遍$U$中元素时，左边的上确界不超过右侧的下确界，这个断言一旦成立，$c$就能找到，定理也就证毕。现在来证明这个断言：

设$f,g\in U$，则
$$
\begin{align*}
-\Vert \psi\Vert \Vert f+h\Vert -\psi(f)& \leq\Vert\psi\Vert(\Vert g+h\Vert-\Vert g-f\Vert)-\psi(f) \\
&= \Vert\psi\Vert(\Vert g+h\Vert-\Vert g-f\Vert)+\psi(g-f) - \psi(g) \\
&\leq \Vert\psi\Vert(\Vert g+h\Vert) - \psi(g)
\end{align*}
$$

而这个关系对任何的$f,g$都成立，因此$\sup {-\Vert \psi\Vert \Vert f+h\Vert -\psi(f)} \leq\inf { \Vert\psi\Vert(\Vert g+h\Vert) - \psi(g)}$因此断言得证

定理 （Hahn-Banach定理）
一个赋范线性空间$V$，其子空间$U$，若$\psi: U\to \mathbb{F}$是一个有界的线性泛函，则，$\psi$可以被延拓成一个线性泛函$\varphi: V\to \mathbb{F}$使得：$\Vert \psi\Vert = \Vert \varphi \Vert$

证明：

实的情形 令$E$是$V\times\mathbb{R}$的一个子集，满足：

1. 存在一个定义在$V$的某个子空间上的线性泛函$\varphi$，使得$E=\text{graph}(\varphi)$

2. $\text{graph}(\psi)\subset E$

3. $\vert \alpha\vert\leq \Vert \psi \Vert\Vert f\Vert \text{ for }\forall (f,\alpha)\in E$

然后把所有这样子的$E$收集起来，装在一个集族$\mathcal{A}$里头。现在，$\mathcal{A}$就满足Zorn引理的假设。因此，$\mathcal{A}$有一个极大元，那么这个极大元是否就是“一个定义在整个$V$上的线性泛函”的图呢？答案是yes，因为不然的话，根据定理（延拓引理），可以再增大，与“极大元”矛盾。此外，得到的“一个定义在整个$V$上的线性泛函”也与$\psi$有相同的范数，得证

复的情形 定义一个映射$\psi_1:U\to\mathbb{R}$，满足$\psi_1(f) =\text{Re}\psi(f)$，那么，这是个实线性泛函，且显然$\Vert \psi_1\Vert\leq \Vert \psi\Vert$。

现在，忘掉复数的标量乘法，仅仅聚焦于$V$上的实数标量乘法，考虑“实的情形”里面已经证明了$\psi_1$可以被延拓，延拓到一个定义在整个$V$上的实线性泛函$\varphi_1$

接下来，注意到$\psi$的复线性将会强制要求这件事：

$$
\begin{align*}
\psi(f) &= \text{Re}\psi(f) + i\text{Im} \psi(f) = \text{Re}\psi(f) + i\text{Im} (-i\psi(if)) \\
&= \psi_1(f) - i \text{Re}(\psi(if)) = \psi_1(f) -i\psi_1(if)
\end{align*}
$$

inspired by this，定义$\varphi:V\to \mathbb{C}$满足$\varphi(f) = \varphi_1(f) - i\varphi_1(if)$，那么，容易验证这个$\varphi$是满足复线性的，且的确是$\psi$的延拓

最后，来验证$\Vert\varphi \Vert\le \Vert\psi\Vert$，注意到$\vert \varphi(f)\vert^2 = \varphi(\overline{\varphi(f)}f)$由于这个东西是实数，所以又等于$\varphi_1(\overline{\varphi(f)}f)$，因此$\vert \varphi(f)\vert^2\leq \Vert\psi \Vert\Vert \overline{\varphi(f)} f\Vert = \Vert\psi \Vert\vert \varphi(f)\vert\Vert f\Vert$，因此同除以$\vert \varphi(f)\vert$后，即得待证结果

$\square$