Real Analysis

Lp空间（MIRA）

本篇核心内容梗概

Lp空间本身是一个例子，并不是理论性的主线。但是它太重要了，对照着它能够理解很多主线的定理究竟在讲什么，或者利用它来思考反例

本篇中，我们首先给出$\mathcal{L}^p$空间的定义，然后能得知它是一个向量空间

然后，我们企图说明它是一个度量空间。为了说明距离满足三角不等式，需要Minkowski不等式，证明这个不等式还要花一些功夫

接着，为了使它上面有一个“真正的”范数，我们引入修改后的$L^p$空间，这样就得到一个赋范线性空间

最后，我们发现这个赋范线性空间还是完备的，也就是说$L^p$空间是Banach空间！这点也并不平凡，我们将看到一个棘手的证明

定义

定义 （$\Vert\cdot\Vert_p$）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，$0<p<\infty$，$f:X\to \mathbb{F}$是$\mathcal{S}$可测的，则$\Vert f\Vert_p$如下定义：
$$
\Vert f\Vert_p = \left( \int \vert f \vert^p d\mu \right)^{\frac{1}{p}}
$$
特别的，$\Vert f\Vert_\infty$被定义为
$$
\Vert f\Vert_\infty = \inf \set{ t>0 :\mu(\set{x\in X:\vert f(x)\vert>t}) = 0}
$$

定义 （$\mathcal{L}^p(\mu)$）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，以及$0<p\leq \infty$，则Lebesgue空间（记为$\mathcal{L}^p(\mu)$），被定义为：所有$\mathcal{S}$可测的、且满足$\Vert f\Vert_p<\infty$的函数$f:X\to \mathbb{F}$的全体

当$X=\mathbb{Z}_+$，且$\mu$取为计数测度时，$\mathcal{L}^p(\mu)$被记为$\ell^p$，它很重要，所以我再陈述一遍：

$$
\ell^p = \set{(a_1,a_2,\dots):a_k\in \mathbb{F},\sum_{k=1}^\infty \vert a_k\vert^p<\infty}
$$

$$
\ell^\infty = \set{(a_1,a_2,\dots):a_k\in \mathbb{F},\sup_{k\in\mathbb{Z}_+} \vert a_k\vert^p <\infty}
$$

定理 （$\mathcal{L}^p(\mu)$是向量空间）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，$\mathcal{L}^p(\mu)$（其中$0<p<\infty$），则对于任何$f,g\in \mathcal{L}^p(\mu)$，任意$\alpha\in \mathbb{F}$都有：$\Vert f+g\Vert_p^p \leq 2^p(\Vert f\Vert_p^p+\Vert g\Vert_p^p)$，且$\Vert \alpha f\Vert_p = \vert \alpha\vert\Vert f \Vert_p$

只证较困难的第一个不等式：$\vert f(x)+g(x)\vert^p\leq (\vert f(x)\vert+\vert g(x)\vert)^p \leq (2\max\set{\vert f(x)\vert,\vert g(x)\vert})^p\leq 2^p (\vert f(x)\vert^p+\vert g(x)\vert^p)$，两边同时积分即得所求

定义 （共轭指数）
$1\leq p<\infty$，则满足下式的$p’$被称为其共轭指数：$\frac{1}{p}+\frac{1}{p’}=1$

重要不等式

定理 （Hölder不等式）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，满足$1\leq p\leq \infty$，且$f,h:X\to\mathbb{F}$是$\mathcal{S}$可测的，那么：
$$
\Vert fh\Vert_1 \leq \Vert f\Vert_p \Vert h\Vert_{p’}
$$

证明：

1. 下面先证明$1<p<\infty$这个较难的情形，首先得知道，此时，对于任何的$a,b\geq 0$，都有Young’s不等式成立：$ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^{p’}}{p’}$

• 先假设$\Vert f\Vert_p=\Vert h\Vert_{p’}=1$，则应用Young’s不等式后，有：$\vert f(x)h(x)\vert\leq \frac{\vert f(x)\vert^p}{p}+\frac{\vert h(x)\vert^{p’}}{p’}$两边同时积分即可得到$\Vert f h \Vert_1 \leq 1$，因此在该特殊情况下成立

• 再看$\Vert f \Vert_p$与$\Vert h\Vert_{p’}$两者之一为$0$，或者$\infty$，那么所求不等式都平凡的成立

• 故下面仅讨论两者都是有限正数的情形，此时定义$f_1 = \frac{f}{\Vert f \Vert_p}$以及$h_1 = \frac{h}{\Vert h \Vert_{p’}}$则利用刚才第一个bullet point中的结论：$\Vert f_1 h_1 \Vert_1\leq 1$，此即$\Vert f h\Vert_1\leq \Vert f\Vert_p \Vert h\Vert_{p’}$

2. 再来看$p=1$这个特殊情况，对应$p’=\infty$（是这样约定的），原问题即：欲证明$\Vert f h\Vert_1\leq \Vert f \Vert_1\Vert h\Vert_\infty$。若$h$是无界的，显然成立，若$\vert h\vert$有上确界$H$，则利用$\vert f(x)h(x)\vert\leq \vert f\vert H$即可得证

$\square$

定理 （$\Vert f\Vert_p$的等价表述）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，$1\leq p <\infty$，且$f\in\mathcal{L}^p(\mu)$，则：
$$
\Vert f\Vert_p =\sup\set{ \left\vert \int fhd\mu \right\vert: h\in\mathcal{L^{p’}}(\mu) ,\Vert h \Vert_{p’}\leq 1 }
$$

证明：若$\Vert f\Vert_p = 0$，则$f$的非零值仅在零测集上，上式右侧自然也为零

故仅需讨论非平凡的情形（$\Vert f\Vert_p> 0$），则对于满足$h\in\mathcal{L^{p’}}(\mu) ,\Vert h \Vert_{p’}\leq 1 $这个条件的$h$而言，用一下Hölder不等式：
$$
\left\vert \int fhd\mu\right\vert\leq \int \left\vert fh\right\vert d\mu\leq \Vert f \Vert_p \Vert h \Vert_{p’} \leq \Vert f \Vert_p
$$

而且在$h$取特殊值的时候能够取到等号：$h(x)=\frac{\overline{f(x)} \vert f(x)\vert^{p-2}}{\Vert f\Vert_p^{p/p’}}$（动动手验算一下确实$\Vert h\Vert_{p’}=1$，并且$\left\vert \int fhd\mu\right\vert = \Vert f\Vert_p$）

定理 （Minkowski不等式）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，$1\leq p\leq \infty$，有任意两个$f,g\in \mathcal{L}^p(\mu)$，则：
$$
\Vert f+g\Vert_p\leq \Vert f\Vert_p+\Vert g\Vert_p
$$

证明：若$p=\infty$，则根据$\Vert \cdot\Vert_\infty$的定义就能证明出来，若$p<\infty$，则可以利用上一个定理，我们着重来看看这时的情况：

假设$h\in\mathcal{L^{p’}}(\mu) ,\Vert h \Vert_{p’}\leq 1$，则：$\left\vert\int (f+g)h d\mu \right\vert \leq \int \left\vert fh\right\vert d\mu + \int \left\vert gh\right\vert d\mu$，再应用一下Hölder不等式，则$\leq \Vert f\Vert_p\Vert h\Vert_{p’} +\Vert g\Vert_p\Vert h\Vert_{p’} \leq \Vert f\Vert_p+\Vert g\Vert_p$

再取sup，利用上一个定理（$\Vert f\Vert_p$的等价表述）即得证

$\square$

有了Minkowski不等式，也就有了度量空间的三角不等式，也就有了范数的三角不等式。这助力我们看清空间的结构

完备性讨论

定义 （$L^p(\mu)$）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，$0< p\leq \infty$，定义$\mathcal{Z}(\mu)$是几乎处处为零的函数的全体，定义$L^p(\mu) = \mathcal{L}^p(\mu) / \mathcal{Z}(\mu)$（商空间）

注意这个商是有意义的，因为，$\mathcal{Z}(\mu)$是$\mathcal{L}^p(\mu)$的一个子空间

为了加以区别，我们把$L^p(\mu)$中的元素记为$\tilde{f}$，代表$f\in\mathcal{L}^p(\mu)$这个元素所处的那个等价类，此处把仅在零测集上不同的函数都视为同个对象

总之，$\mathcal{L}^p$中的一个成员就是一个函数，$L^p$中的一个成员是一族函数的全体

定理 （$L^p(\mu)$是赋范线性空间）
定义$\Vert \cdot\Vert_p$在$L^p(\mu)$中的含义如下：$\Vert \tilde{f}\Vert_p = \Vert f \Vert_p$，则$\Vert \cdot\Vert_p$在$L^p$上成为一个真正的范数，被称之为p-范数

证明略，验证范数的三条要求都满足就行（刚才的Minkowski已经把最难的三角不等式解决了）

商掉“几乎处处为零的函数”的意义在于，本来的$\mathcal{L}^p(\mu)$这个空间中，$\Vert \cdot\Vert_p$并不是一个范数，原因是$\Vert f\Vert_p = 0$并不能推出$f=0$，因为他还有一个零测集随意取值的余地。为了克服这个问题，满足范数的“定性”（范数为零推出本身为零），就定义了$L^p$空间

定理 （$L^p(\mu)$是Banach空间）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，$1\leq p\leq \infty$，假设$f_1,f_2\dots$是$\mathcal{L}^p(\mu)$中的Cauchy序列，则存在$f\in \mathcal{L}^p(\mu)$使得$\lim\limits_{k\to \infty}\Vert f_k -f \Vert_p=0$

证明：假设$1\leq p< \infty$，由于“Cauchy列中如果有子列收敛，那么整个Cauchy列就收敛”，所以只用找到原始序列的收敛子列。通过“加速收敛技巧”（该技巧请参见Banach空间篇的定理“Banach空间等价描述”），构造一个子序列满足（先人为设定$f_{k_0}=0$）：

$$
\sum_{i=1}^\infty \Vert f_{k_i}-f_{k_{i-1}} \Vert_p <\infty
$$

下面进行一些铺垫，为了证明日后构造出来的极限是在$\mathcal{L}^p(\mu)$里头的：

• 定义部分和$g_m(x) = \sum\limits_{i=1}^m \vert f_{k_i}(x) - f_{k_{i-1}}(x)\vert$，再记$g(x)=\sum\limits_{i=1}^\infty \vert f_{k_i}(x) - f_{k_{i-1}}(x)\vert$，显然，对于单调增长的实数序列$g_m$而言，有$\lim\limits_{m\to \infty} g_m(x)= g(x)$，

• 再调用Minkowski不等式，发现$\Vert g_m\Vert_p\leq \sum\limits_{i=1}^m \Vert f_{k_i}- f_{k_{i-1}}\Vert_p$

• 下面依次利用上上段的结果、积分定理“单调收敛”、上一段的结果 $$
  \begin{align*}
  \int g^p d\mu & =\int \lim\limits_{m\to \infty} g_m^p d\mu = \lim\limits_{m\to \infty}\int g_m^p d\mu =\lim\limits_{m\to \infty}\Vert g_m\Vert_p^p \\
  & \leq \lim\limits_{m\to \infty} \left( \sum\limits_{i=1}^m \Vert f_{k_i}- f_{k_{i-1}}\Vert_p\right)^p \leq \left( \sum\limits_{i=1}^\infty \Vert f_{k_i}- f_{k_{i-1}}\Vert_p\right)^p < \infty
  \end{align*} $$

• 这证明了$\set{x\in X:g(x)=\infty}$是个零测集。也就是说，这个级数是几乎处处绝对收敛的（下面一段就会用到这点）

由于对于实数序列而言，绝对收敛的级数本身必然收敛，因此定义$f(x)$如下：
$$
f(x) = \sum_{i=1}^\infty (f_{k_i}(x)-f_{k_{i-1}}(x)) = \lim_{i\to \infty} f_{k_i}(x)
$$

这个极限是几乎处处存在的，不存在的那些地方，人为设置$f(x)=0$就行了，由于实数的三角不等式，$\vert f(x)\vert \leq g(x)$，而且刚才已经证明$\int g^p d\mu$积分有限，故$f\in \mathcal{L}^p(\mu)$

最后一步是证明$f_{k_i}$确实收敛到$f$，任取$\varepsilon>0$，则$\exists N$，使得$j,k>N$时均有$\Vert f_j -f_k\Vert_p< \varepsilon$，假设$j>N$，那么：

$$
\Vert f_{k_j} - f\Vert_p = \left(\int \vert f_{k_j}-f\vert^p d\mu\right)^\frac{1}{p} = \left(\int \lim_{i\to \infty} \vert f_{k_j}-f_{k_i}\vert^p d\mu\right)^\frac{1}{p}
$$

使用Fatou引理，得到：
$$
\Vert f_{k_j} - f\Vert_p \leq \underset{i\to \infty}{\lim\inf} \left(\int \vert f_{k_i}-f_{k_j}\vert^p d\mu\right)^\frac{1}{p} = \underset{i\to \infty}{\lim\inf} \Vert f_{k_i} - f_{k_j}\Vert_p< \varepsilon
$$

这就说明了$f_{k_i}$收敛到$f$

$\square$