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Complex Analysis

认识全纯

本篇核心内容概要

“复数的引入”、“指数表示”等部分直接省略,因为很熟悉了(个人喜欢Sheldon Axler以及Serge Lang书中的引入方法,感觉更踏实)

首先,介绍全纯函数的概念,得到著名Cauchy-Riemann公式(大家应该也很熟了)

然后介绍一些积分的概念,看看“原函数”有哪些威力,为将来的Cauchy定理相关内容铺垫

全纯函数基本性质

定义 (复可微)
在开集$U$上定义的一个(复)函数$f$,若满足下面的极限存在,则称为是复可微的:$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(z+w)-f(z)}{w}$,极限记为$f’(z)$

此后,证明求导的各个性质,比如“前导后不导,后导前不导”、链式法则等具体过程不再赘述。方法是:使用不带除法的等价表示:$f(z_0+w)=f(z_0)+f’(z_0)w+\sigma(w) w$,其中$\lim\limits_{w\to 0} \sigma(w) = 0$然后代入算一下就行

定义 (全纯 Holomorphic)
如果$f(z)$在开集$U$中固定每一个点都复可微,则称$f$在$U$上是全纯的(holomorphic)

至此,我们还不清楚复可微的函数,它的实部虚部有啥特性,我们接下来就要谈论这个问题

定理 (Cauchy-Riemann方程)
定义在开集$U$上的函数$f(x+iy) = u(x,y) +i v(x,y)$,那么,如果$f$是全纯的,则,其实/虚部满足Cauchy-Riemann方程:
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}
$$

声明:以下证明中,$\mathbb{R}^2$中的元素不区分行/列表达

证明:既然都假设可微了,不妨设点$z$处有$f’(z)=a+ib$,我们下方的目标就是求出$a,b$的具体表达式

根据可微,$f(z+w)=f(z)+f’(z)w+\sigma(w)w$其中$\lim\limits_{w\to 0}\sigma(w) = 0$,现在我把“小位移”$w$具体表示出来:$w=h+ik$那么,该式即为:
$$
f(x+h +i(y+k))=f(x+iy)+(ah-bk)+i(bh+ak)+\sigma(h+ik)(h+ik)
$$ 现在,定义$F(x,y):\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$为:$F(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$,那么,上式的“实部等于虚部”即是说:
$$
F(x+h,y+k)=F(x,y)+\begin{pmatrix}
ah-bk \\
bh+ak
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
? \\
?
\end{pmatrix}
$$

  • 分析一下两个问号处填啥:假设$\sigma(h+ik)=\alpha (h,k) +i\beta(h,k)$,那它和$h+ik$乘一下,整理虚实部就得到:
    $$
    \begin{pmatrix}
    ? \\
    ?
    \end{pmatrix} =
    \begin{pmatrix}
    \alpha(h,k) \\
    \beta(h,k)
    \end{pmatrix} h+
    \begin{pmatrix}
    -\beta(h,k) \\
    \alpha(h,k)
    \end{pmatrix} k= \sigma_1(h,k) h+\sigma_2(h,k) k
    $$
    最后的记号$\sigma_1,\sigma_2$代表中间两个$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$的映射,由于$\lim\limits_{w\to 0}\sigma(w) = 0$,这暗示$\lim\limits_{h,k\to 0}\alpha(h,k) =\lim\limits_{h,k\to 0}\beta(h,k) = 0$,那么$\lim\limits_{h,k\to 0}\sigma_1(h,k) =\lim\limits_{h,k\to 0}\sigma_2(h,k) = (0,0)$

好,将问号替换掉,现在得到关键的式子:
$$
F(x+h,y+k)=F(x,y)+
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
h \\
k
\end{pmatrix}
+\sigma_1(h,k) h+\sigma_2(h,k) k
$$
其中$\lim\limits_{h,k\to 0}\sigma_1(h,k) =\lim\limits_{h,k\to 0}\sigma_2(h,k) = (0,0)$。回顾多元映射微定义,发现,此式明示$F$在$(x,y)$处可微,且导数为$\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}$

但是,旧知识又告诉我们,$F$若可微,其导数应该是$\begin{pmatrix}
{\partial u}/{\partial x} & {\partial u}/{\partial y} \\
{\partial v}/{\partial x} & {\partial v}/{\partial y}
\end{pmatrix}$

因此,两者的相等导致$a=\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$以及$b=\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$
$\square$

定理 (C-R方程推全纯)
假如$u(x,y),v(x,y)$是两个一阶偏导连续的函数,且满足Cauchy-Riemann方程,那么借用它们,定义的复函数$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$是复可微的

证明同上,每一步都反向就行

上面两个定理,就是C-R方程与可微的等价关系!

积分的基本概念

复平面上积分要考虑路径,因此先明确概念:

定义 (曲线)
曲线就是可微,且导数连续的映射$\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$

提醒:这里的“可微”,和前面讲的复可微不一样哦!因为这里自变量是实的,“微小位移”没有从四面八方来的可能性

更准确的说,若$\gamma(t) = \gamma_1(t)+i\gamma_2(t)$,那么,定义$\gamma$的导数为:$\gamma’(t) = \gamma_1’(t) + i\gamma_2’(t)$

据此,容易验证熟悉的导数运算性质也都成立,包括和全纯函数$f: U\to\mathbb{C}$复合后的$f\circ \gamma$,能证出也可微,且导数满足链式法则!(尽管这个乘积中,一个是复自变量可微,一个是实自变量可微,但证明时统一用不带除法的那种等价表示,其实过程完全一致)

定义 (道路)
道路即是首尾相接的曲线族,具体来说:$\gamma = \set{\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n}$,其中$\gamma_j:[a_j,b_j]\to \mathbb{C}$,满足$\gamma_j(b_j)=\gamma_{j+1}(a_{j+1})$

定义 (实参数复值函数积分)
一个连续的复数值函数$F:[a,b]\to\mathbb{C}$,可以表示为$F(t) = u(t)+iv(t)$,那么,定义其定积分为:$\int_a^b F(t) dt = \int_a^b u(t) dt+ i\int_a^b v(t) dt$

定义 (复变函数沿曲线积分)
(该定义建立上一个定义的基础上)复平面的开集$U$上的连续函数$f$,假设$\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$是$U$中的一个曲线,那么,$f$沿着$\gamma$的积分就被定义为:$\int_\gamma f = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma’(t) dt$

容易证明(用虚实部展开+链式法则+实函数积分换元公式)沿曲线积分与参数$t$的选取无关,因此,常记为$\int_\gamma f(z) dz $

定义 (复变函数沿路径积分)
复平面的开集$U$上的连续函数$f$,假设$\gamma=\set{\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n}$是$U$中的一个路径,那么,$f$沿着$\gamma$的积分就被定义为:$\int_\gamma f = \sum\limits_{k=1}^n \int_{\gamma_k} f$

定义 (原函数 primitive)
现在有个定义在开集$U$上的函数$f$,如果找到一个全纯函数$g$满足$g’=f$,则称$g$是$f$在$U$上的原函数

定理 (复的微积分基本定理)
如果连续函数$f$在开集$U$上有原函数$g$,那么,$\gamma$是$U$上的一个道路,两端为$\alpha,\beta$,则$\int_\gamma f =g(\beta)-g(\alpha)$

证明:先证$\gamma$就是一个曲线的情形,此时按照“沿曲线积分”定义:$ \int_\gamma f = \int _a^b g’(\gamma(t))\gamma’(t) dt$ ,再调用“曲线”定义下方注记提到的链式法则,等于$\int_a^b (g\circ \gamma)’(t) dt$,现在,调用熟知的实变量的“向量值函数的微积分基本定理”,就得$\int_a^b (g\circ \gamma)’(t) dt=g\circ\gamma(b)-g\circ \gamma(a) = g(\beta)-g(\alpha)$

若$\gamma$是个道路,那么利用“首尾相接”抵消中间项即可

定理 (导数处处为0是常值函数)
区域$\Omega$上,若全纯函数$f$,满足$f’=0$处处成立,则$f$是常值映射

对任意两点$z_1,z_2$,构造一个道路连接起来,显然$f$是$f’$的原函数,因此调用上一个定理,得到$f’$沿着这个道路的积分$f(z_2)-f(z_1)=0$,所以任意两点函数值相等

注意这个“区域”(道路联通的开集)的假设很重要!没有该假设,两点不一定能连起来

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