Complex Analysis

认识全纯

本篇核心内容概要

“复数的引入”、“指数表示”等部分直接省略，因为很熟悉了（个人喜欢Sheldon Axler以及Serge Lang书中的引入方法，感觉更踏实）

首先，介绍全纯函数的概念，得到著名Cauchy-Riemann公式（大家应该也很熟了）

然后介绍一些积分的概念，看看“原函数”有哪些威力，为将来的Cauchy定理相关内容铺垫

全纯函数基本性质

定义 （复可微）
在开集$U$上定义的一个（复）函数$f$，若满足下面的极限存在，则称为是复可微的：$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(z+w)-f(z)}{w}$，极限记为$f’(z)$

此后，证明求导的各个性质，比如“前导后不导，后导前不导”、链式法则等具体过程不再赘述。方法是：使用不带除法的等价表示：$f(z_0+w)=f(z_0)+f’(z_0)w+\sigma(w) w$，其中$\lim\limits_{w\to 0} \sigma(w) = 0$然后代入算一下就行

定义 （全纯 Holomorphic）
如果$f(z)$在开集$U$中固定每一个点都复可微，则称$f$在$U$上是全纯的（holomorphic）

至此，我们还不清楚复可微的函数，它的实部虚部有啥特性，我们接下来就要谈论这个问题

定理 （Cauchy-Riemann方程）
定义在开集$U$上的函数$f(x+iy) = u(x,y) +i v(x,y)$，那么，如果$f$是全纯的，则，其实/虚部满足Cauchy-Riemann方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}
$$

声明：以下证明中，$\mathbb{R}^2$中的元素不区分行/列表达

证明：既然都假设可微了，不妨设点$z$处有$f’(z)=a+ib$，我们下方的目标就是求出$a,b$的具体表达式

根据可微，$f(z+w)=f(z)+f’(z)w+\sigma(w)w$其中$\lim\limits_{w\to 0}\sigma(w) = 0$，现在我把“小位移”$w$具体表示出来：$w=h+ik$那么，该式即为：
$$
f(x+h +i(y+k))=f(x+iy)+(ah-bk)+i(bh+ak)+\sigma(h+ik)(h+ik)
$$ 现在，定义$F(x,y):\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$为：$F(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$，那么，上式的“实部等于虚部”即是说：
$$
F(x+h,y+k)=F(x,y)+\begin{pmatrix}
ah-bk \\
bh+ak
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
? \\
?
\end{pmatrix}
$$

• 分析一下两个问号处填啥：假设$\sigma(h+ik)=\alpha (h,k) +i\beta(h,k)$，那它和$h+ik$乘一下，整理虚实部就得到：
  $$
  \begin{pmatrix}
  ? \\
  ?
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
  \alpha(h,k) \\
  \beta(h,k)
  \end{pmatrix} h+
  \begin{pmatrix}
  -\beta(h,k) \\
  \alpha(h,k)
  \end{pmatrix} k= \sigma_1(h,k) h+\sigma_2(h,k) k
  $$

• 最后的记号$\sigma_1,\sigma_2$代表中间两个$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$的映射，由于$\lim\limits_{w\to 0}\sigma(w) = 0$，这暗示$\lim\limits_{h,k\to 0}\alpha(h,k) =\lim\limits_{h,k\to 0}\beta(h,k) = 0$，那么$\lim\limits_{h,k\to 0}\sigma_1(h,k) =\lim\limits_{h,k\to 0}\sigma_2(h,k) = (0,0)$

好，将问号替换掉，现在得到关键的式子：
$$
F(x+h,y+k)=F(x,y)+
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
h \\
k
\end{pmatrix}
+\sigma_1(h,k) h+\sigma_2(h,k) k
$$
其中$\lim\limits_{h,k\to 0}\sigma_1(h,k) =\lim\limits_{h,k\to 0}\sigma_2(h,k) = (0,0)$。回顾多元映射微定义，发现，此式明示$F$在$(x,y)$处可微，且导数为$\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}$

但是，旧知识又告诉我们，$F$若可微，其导数应该是$\begin{pmatrix}
{\partial u}/{\partial x} & {\partial u}/{\partial y} \\
{\partial v}/{\partial x} & {\partial v}/{\partial y}
\end{pmatrix}$

因此，两者的相等导致$a=\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$以及$b=\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$
$\square$

定理 （C-R方程推全纯）
假如$u(x,y),v(x,y)$是两个一阶偏导连续的函数，且满足Cauchy-Riemann方程，那么借用它们，定义的复函数$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$是复可微的

证明同上，每一步都反向就行

上面两个定理，就是C-R方程与可微的等价关系！

积分的基本概念

复平面上积分要考虑路径，因此先明确概念：

定义 （曲线）
曲线就是可微，且导数连续的映射$\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$

提醒：这里的“可微”，和前面讲的复可微不一样哦！因为这里自变量是实的，“微小位移”没有从四面八方来的可能性

更准确的说，若$\gamma(t) = \gamma_1(t)+i\gamma_2(t)$，那么，定义$\gamma$的导数为：$\gamma’(t) = \gamma_1’(t) + i\gamma_2’(t)$

据此，容易验证熟悉的导数运算性质也都成立，包括和全纯函数$f: U\to\mathbb{C}$复合后的$f\circ \gamma$，能证出也可微，且导数满足链式法则！（尽管这个乘积中，一个是复自变量可微，一个是实自变量可微，但证明时统一用不带除法的那种等价表示，其实过程完全一致）

定义 （道路）
道路即是首尾相接的曲线族，具体来说：$\gamma = \set{\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n}$，其中$\gamma_j:[a_j,b_j]\to \mathbb{C}$，满足$\gamma_j(b_j)=\gamma_{j+1}(a_{j+1})$

定义 （实参数复值函数积分）
一个连续的复数值函数$F:[a,b]\to\mathbb{C}$，可以表示为$F(t) = u(t)+iv(t)$，那么，定义其定积分为：$\int_a^b F(t) dt = \int_a^b u(t) dt+ i\int_a^b v(t) dt$

定义 （复变函数沿曲线积分）
（该定义建立上一个定义的基础上）复平面的开集$U$上的连续函数$f$，假设$\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$是$U$中的一个曲线，那么，$f$沿着$\gamma$的积分就被定义为：$\int_\gamma f = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma’(t) dt$

容易证明（用虚实部展开+链式法则+实函数积分换元公式）沿曲线积分与参数$t$的选取无关，因此，常记为$\int_\gamma f(z) dz $

定义 （复变函数沿路径积分）
复平面的开集$U$上的连续函数$f$，假设$\gamma=\set{\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n}$是$U$中的一个路径，那么，$f$沿着$\gamma$的积分就被定义为：$\int_\gamma f(z) dz = \sum\limits_{k=1}^n \int_{\gamma_k} f$

定义 （原函数 primitive）
现在有个定义在开集$U$上的函数$f$，如果找到一个全纯函数$g$满足$g’=f$，则称$g$是$f$在$U$上的原函数

定理 （复的微积分基本定理）
如果连续函数$f$在开集$U$上有原函数$g$，那么，$\gamma$是$U$上的一个道路，两端为$\alpha,\beta$，则$\int_\gamma f =g(\beta)-g(\alpha)$

证明：先证$\gamma$就是一个曲线的情形，此时按照“沿曲线积分”定义：$ \int_\gamma f = \int _a^b g’(\gamma(t))\gamma’(t) dt$ ，再调用“曲线”定义下方注记提到的链式法则，等于$\int_a^b (g\circ \gamma)’(t) dt$，现在，调用熟知的实变量的“向量值函数的微积分基本定理”，就得$\int_a^b (g\circ \gamma)’(t) dt=g\circ\gamma(b)-g\circ \gamma(a) = g(\beta)-g(\alpha)$

若$\gamma$是个道路，那么利用“首尾相接”抵消中间项即可

定理 （导数处处为0是常值函数）
区域$\Omega$上，若全纯函数$f$，满足$f’=0$处处成立，则$f$是常值映射

对任意两点$z_1,z_2$，构造一个道路连接起来，显然$f$是$f’$的原函数，因此调用上一个定理，得到$f’$沿着这个道路的积分$f(z_2)-f(z_1)=0$，所以任意两点函数值相等

注意这个“区域”（道路联通的开集）的假设很重要！没有该假设，两点不一定能连起来