流形与张量场

流形与张量场

教材：微广 by 梁灿彬 （物理学导向）

拓扑空间

基本的拓扑知识回忆

定义 （拓扑）
集合$X$上的拓扑指：有一个其子集构成的集合$\mathscr{T}$，开集就定义为它其中的元素，满足：

1. 空集和$X$本身是开集

2. 开集的有限交仍是开集

3. 开集的任意并仍是开集

我们知道，在一般的拓扑空间中，连续的定义是“开集的逆像仍开”，而在度量空间上这等价于$\epsilon-\delta$的连续定义，画图给出了这一等价性的直观理解（见书上的图1-2），很有意思

定义 （同胚）
两个拓扑空间互相同胚，指的是其之间存在一个双射$f$，且$f$与$f^{-1}$均连续（这个双射也称同胚映射）

两个拓扑空间互相同胚，已经是目前有的结构里的最高配置了，两个拓扑空间“像的不能再像”

定义 （连通）
称拓扑空间$(X,\mathscr{T})$是连通的，如果仅$\varnothing, X$两者是既开又闭的

拓扑不变性：指在同胚映射下保持不变的性质，比如紧性、连通性、Hausdorff性

微分流形

定义 （微分流形）
拓扑空间$(X,\mathscr{T})$称为n维微分流形，如果：有开覆盖$X=\bigcup\limits_\alpha O_\alpha$，满足：

1. $\forall \alpha, \exists \psi_\alpha$（同胚映射）$: O_\alpha \to V_\alpha$ 而$V_\alpha$是$\mathbb{R}^n$中的开集

2. 对于$O_\alpha \bigcap O_\beta \not={\varnothing}$，满足$\psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1}$是$C^\infty$无穷可微映射（这里仅讨论光滑流形）

第二条称为相容性条件，很直观

遵循如上记号，我们称$(O_\alpha,\psi_\alpha)$为局域坐标系，或图，因为$\psi_\alpha$把$O_\alpha$中的点映射到一个$n$维欧式空间中，这个点在该映射下“获得了坐标”。所有图的都装到一个叫图册的大集合里。

定义 （$C^r$映射）
$f:M \to M’$是两个流形之间的映射，什么情况下，$f$是$C^r$映射呢？随意取一个$p\in M$，那么选好包含$p$的图$\set{O_\alpha,\psi_\alpha}$，和包含$f(p)$的图$\set{O_\beta’,\psi_\beta’}$后，均有$\psi’_\beta \circ f \circ \psi_\alpha^{-1}$是欧式空间中的$C^r$类函数

两个流形间映射的光滑性，要借助于$\mathbb{R}^n$中映射的光滑性概念

定义 （微分同胚）
两个流形$M,M’$称为互相微分同胚，如果$\exists f :M\to M’$，且$f$是个双射，且$f$与$f^{-1}$都是$C^\infty$的

定义 （标量场）
首先有个流形$M$，那么$f:M\to \mathbb{R}$就叫$M$上的一个标量场。若还是$C^\infty$的，那么$f$就叫$M$上的一个光滑标量场。全体$M$上的光滑标量场记为$\mathscr{F}_M$

矢量

定义 （矢量/向量）
什么是矢量？在点$p\in M$处的矢量是这样一种映射$v :\mathscr{F}_M \to \mathbb{R}$，对于$\forall f,g\in\mathscr{F}_M$，都满足：

1. （线性性） $v(\alpha f +\beta g)= \alpha v(f) +\beta v (g)$

2. （莱布尼兹律） $v(fg) = v(f) g|_p+ f|_p v(g)$

在$p\in M$点处的所有矢量装入集合$V_p$中，按照很自然的方式定义一下矢量加法和数乘，可发现$V_p$符合曾经的矢量空间定义，且该矢量空间维数与流形的维数一样，即$\dim V_p = \dim M =n$

给个具体例子，在$n$维流形$M$上，固定了$p$点后，$X_\mu$就是点$p$处的一个向量，它的定义是什么呢？对于一个已知的标量场$f\in\mathscr{F}_M$，选一个图$\set{O,\psi}$，那么$f\circ\psi^{-1}$就是一个很普通的$\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$的函数（高数就学过的那种）记为$F(x^1,x^2\dots,x^n)$，简记为$F(x)$，甚至简记为$f(x)$，那么就有定义式：
$$
X_\mu (f):=\left.\frac{\partial F(x)}{\partial x^\mu}\right|_p \overset{\text{denoted as}}{=} \left.\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu}\right|_p
$$
的确在$p$点处把$f$映成一个实数，且是满足线性性与莱布尼兹律的

注意：我反复强调“在$p$点处”，因为必须指定一个点，谈论矢量这个概念才有意义。比如指定$p$后，$V_p$成为一个矢量空间，两个不同点之间的矢量是不能做加法的……

此外，$X_1,X_2\dots X_n$就构成了$V_p$这个向量空间的基，比如随便来一个$V_p$中的元素$v$，都能用$X_\mu$们展开$v = v(x^\mu) X_\mu$，这里的$v(x^\mu)$就是坐标分量

仔细看看这里的写法，$x^\mu$就是把一个点打到其所在图的某一坐标分量的实值函数，即$x^\mu \in \mathscr{F}_O$（仔细读读这句话，虽然比较绕），那么$v(x^\mu)$这个写法是有意义的，因为矢量作用的对象就是标量场

今后，写为$v = v^\mu X_\mu$即可！心中暗自知道$v^\mu = v(x^\mu)$就行

定理 （坐标分量变换关系）
$\set{x^\mu}$与$\set{x’^\nu}$为两个坐标系（图），其中共有一点$p$，$v\in V_p$，且$\set{v^\mu}$与$\set{v’^\nu}$是同个$v$向量在两个系中的分量，则有：
$$
v’^\nu = \left.\frac{\partial x’^\nu}{\partial x^\mu}\right|_p v^\mu
$$

证明：两个坐标系就有两组坐标基矢$\set{X_\mu},\set{X’_\nu}$，作用在$f$这个标量场上，有：
$$
\begin{align*}
X_\mu (f) = \left.\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu}\right|_p \qquad X’_\nu(f) = \left.\frac{\partial f’(x’)}{\partial x’^\nu}\right|_p
\end{align*}
$$
回忆这里的$f(x)$其实是$F(x^1,x^2\dots,x^n)$的简记，同样的$f’(x’)$其实是$F’(x’^1,x’^2\dots,x’^n)$的简记

现在，由于本身两个坐标系都是$\mathbb{R}^n$里的且需要符合相容性条件，因此可以这样写：$x’^\nu=x’^\nu(x)$，即加撇的某一分量是不加撇的一个n元函数，而且由于$f|_p$的值与坐标的选取无关，有$f(x)=f’(x’)=f’(x’(x))$（请回忆这个$f$其实是$F$），故：
$$
X_\mu (f) = \left.\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu} \right|_p = \left. \frac{\partial f’(x’(x))}{\partial x^\mu} \right|_p=\left. \frac{\partial f’(x’)}{\partial x’^\nu}\frac{\partial x’^\nu}{\partial x^\mu}\right|_p = \left. \frac{\partial x’^\nu}{\partial x^\mu}\right|_p X’_\nu (f)
$$

定义 （曲线）
设$I$为$\mathbb{R}$的一个区间，则$C^r$类映射$C:I\to M$称为流形$M$上的一个曲线（今后默认光滑，是$C^\infty$类的）

定义 （曲线的切矢）
设$C(t)$是在微分流形$M$上的一个$C^1$类曲线，则线上的$C(t _ 0)$点的、切于$C(t)$的切矢$T$是一个在$C(t _ 0)$点的矢量，它是怎么定义的呢？对于$\forall f\in \mathscr{F} _ M$：
$$
T(f):= \left.\frac{d(f\circ C)}{dt}\right| _ {t _ 0}
$$

注：易证的确是矢量

今后把$T$记为$\left.\frac{\partial }{\partial t}\right| _ {C(t _ 0)}$，更加生动形象地表明的确是个向量。如果曲线取成坐标线，参数是坐标线上的$x^\mu$，那么这切矢不就恰好等于$X_\mu$了嘛！

定理 （曲线切矢用坐标基底展开）
比如曲线$C(t)$在某个坐标系（图）中的参数写法为$x^\mu = x^\mu(t)$，那么该坐标系（图）内有：
$$
\frac{\partial}{\partial t}=\frac{dx^\mu}{dt} \frac{\partial}{\partial x^\mu}
$$

证明：这式子看上去很熟悉，但其诠释与初等微积分中完全不一样。在这里，左边是一个$C(t_0)$点的矢量，那么自然可以被$V_{C(t_0)}$中的基矢量展开，回忆一下“坐标分量”那里的展开$v = v(x^\mu) X_\mu$，这里无非就是把字母替换掉：
$$
\left.\frac{\partial}{\partial t}\right| _ {C(t _ 0)} =\left.\frac{\partial x^\mu}{\partial t}\right| _ {C(t _ 0)} \cdot\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left.\frac{d x^\mu}{d t}\right| _ {C(t _ 0)} \cdot\frac{\partial}{\partial x^\mu}
$$
当然$t_0$是可以任意取的，因此不用写$| _ {C(t _ 0)}$了

如果$M$上的每一点都定义一个矢量，那么就得到一个矢量场，矢量场能把某一个标量场变为另外一个标量场

矢量场也可以定义光滑与否，$C^r$类的矢量场的定义就是：作用于$C^\infty$类的标量场后能得到$C^r$类标量场（今后，简单起见都默认光滑）

定义 （积分曲线）
有一个$M$上的光滑矢量场$v$，则积分曲线是这样一条曲线，其上每一点处的曲线切矢都等于矢量场在该点的取值

定义 （单参微分同胚群）
$C^\infty$映射$\phi:\mathbb{R}\times M \to M$能被称为在$M$上的一个单参微分同胚群，若满足：

1. $\phi_t: M\to M$对于$\forall t\in\mathbb{R}$都是微分同胚

2. $\phi_t \circ \phi_s = \phi_{t+s}$ 对$\forall t,s\in \mathbb{R}$成立

注意上面提到的记号，约定为：当$\phi(?,?)$的第一个槽填入$t\in\mathbb{R}$后，$\phi_t := \phi(t,?)$，当第二个槽填入$p\in M$后，$\phi_p = \phi(?,p)$

显然，$\phi_t$是一个群

可以发现，$\phi_p$实际上把$\mathbb{R}$映到$M$，是一个曲线！我们称这个曲线为$p$的轨道

若$M$上有了一个单参微分同胚群$\phi$，那么在$p$点定义矢量为轨道$\phi_p(t)$在$t=0$处的切矢（这句话是有意义，回顾切矢的定义），按照这个方法，可在流形上的各个点都定义一个矢量。故，$M$上的一个单参微分同胚群给出了$M$上的一个光滑矢量场！

对偶矢量场

简要回顾对偶空间定义：以下，记号$\mathscr{L}(V,W)$代表两个向量空间之间$V\to W$的线性映射

定义 （对偶空间）
设$V$是$\mathbb{R}$上的有限维矢量空间，则$\mathscr{L}(V,\mathbb{R})$就是$V$的对偶空间，记为$V^*$，我们称其中元素“对偶矢量”（不符合上节的矢量定义，不是矢量）

在线性代数中熟知的，对偶基是这样的：

首先，$V$中有一个基$\set{e_\nu}$，那么$\set{e^{\mu *}}$就是对偶基，其特色为：$e^{\mu *} e_\nu= \delta^\mu_{\phantom{0}\nu}$

易验证，对偶基是对偶空间的基！（代数层面）

介绍重要的自然同构：$V\to V^{\ast\ast} ,v\mapsto v^{\ast\ast}$（同构是因为维数相等），$v^{\ast\ast}$是怎么给出的呢？当它作用在一个对偶空间元素$\omega$上时：$v^{\ast\ast}(\omega) :=\omega(v) $

由标量场$f$，能够很自然的诱导出一个$M$上的一个对偶矢量场$df$，这个“$f$的微分”是什么呢？比如，你任给出一点$p$，其上任给出一个矢量$v\in V_p$，我都能够讲出$df$在其上的作用效果的话，我就定义好了$df$。下面，给出这个作用效果：

定义 （微分与对偶矢量场）
有标量场$f\in \mathscr{F}_M$后，$M$上可诱导出一个对偶矢量场$df$如下，我只要在任何一个点$p$都讲清楚$df|_p$是啥就行了：
$$
\left.df(v)\right|_p := v(f)
$$

定理 （微分算子d的莱布尼兹律）
还记得以前写的$d(fg) = g\cdot df+f\cdot dg$式子吗？这其实就是微分算子$d$的莱布尼兹律了。我们这里定义的$df$意义虽看起来不同，但仍然具有莱布尼兹律

证明：比如我随便挑一点$p$，其上随便挑一个向量，$d(fg) |_p(v)= v(fg) = v(f) g|_p + v(g) f|_p = g|_p\cdot df(v)+f|_p \cdot dg(v) \quad \square$

可见，$d$的莱布尼兹性质来源于矢量的莱布尼兹性质

一旦选定了图，就能谈论$x^\mu$等内容，这里，$dx^\mu$正是与$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$相对应的那个线性泛函

定理 （“全微分”公式展开）
设有一坐标系$(O,\psi)$，$f$是$O$上的光滑函数，$f(x)$是$f\circ \psi^{-1}$对应的$F(x^1,x^2\dots,x^n)$的简写，则$df$可用对偶坐标基底$\set{d x^\mu}$展开如下：
$$
df = \frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu} dx^\mu\quad \forall f\in \mathscr{F}_O
$$

欲证明两边相同，仅需证明两边作用在基向量上效果一致即可，那么拿一个$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$来作用试试呗：

左边作用后$df(\frac{\partial}{\partial x^\nu})=\frac{\partial f}{\partial x^\nu}|_p$，当然，这个仍然是指定了坐标系后才有的写法，即$F$的简写，否则求偏导是没有定义过的

右边作用后$\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu} dx^\mu(\frac{\partial}{\partial x^\nu})=\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu}|_p dx^\mu(\frac{\partial}{\partial x^\nu})=\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu}|_p\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} = \frac{\partial f}{\partial x^\nu}|_p$

$\square$

张量

张量基本定义

定义 （(k,l)型张量）
矢量空间$V$上的一个$(k,l)$型张量，指的是一个多重线性映射（即，对每一个位置都是线性的）$T: V^\ast \times V^\ast\times \dots \times V^\ast \times V\times V \times \dots \times V \to \mathbb{R}$，其中，是$k$个对偶空间$V^\ast$与$l$个$V$进行笛卡尔积

用$\mathscr{T}_V (k,l)$记矢量空间$V$上的全体$(k,l)$型张量

这就是张量定义！非常清晰，里面没有任何魔法

一个张量，就是一部机器，有$k$个上槽（吃对偶矢量），$l$个下槽（吃矢量），吐出实数，仅此而已

约定 （认同$V$与$V^{\ast\ast}$）
根据自然同构，可以把$v$与$v^{\ast\ast}$认为是同一对象，今后，矢量$v$可以直接作用于对偶矢量上

因此，一个矢量可以视为$(1,0)$型张量，一个对偶矢量可视为$(0,1)$型张量！

下面将会出现$v(\omega)$这样的式子，不要吃惊，$v$作$v^{\ast\ast}$诠释

定理 （张量面面观）
定义$V$上的$(1,1)$型张量$T$，那么，可视为$T\in \mathscr{L}(V, V)$，也可视为$T\in \mathscr{L}(V^\ast, V^\ast)$

原因就是，填入了一个上槽的$T$变为$T(\omega;?)$这个新机器，新机器吃入矢量$v$，吐出实数，不就是对偶矢量嘛！所以$T: V^\ast \to V^\ast , \omega\mapsto T(\omega;?)$

张量积

定义 （张量积）
同个$V$上的$(k,l)$型张量$T$和$(k’,l’)$型张量$T’$的张量积$T \otimes T’$定义为一个$(k+k’,l+l’)$型张量：$$
T\otimes T’(\omega^1,\dots,\omega^{k+k’};v_{1},\dots, v_{l+l’}) = T(\omega^1,\dots,\omega^k; v_1,\dots,v_l) T’(\omega^{k+1},\dots,\omega^{k+k’};v_{l+1},\dots,v_{l+l’})
$$

张量积不满足交换律

定理 （$\mathscr{T}_V(k,l)$的维数）
$\mathscr{T}_V(k,l)$也是一个向量空间，其维数为$n^{k+l}$

证明：以$n=\dim V=2$，且$(2,1)$型为例，其实该向量空间中基的成员，形如两个基矢量与一个基对偶矢量的张量积：$e_1 \otimes e_1\otimes e^{1\ast} \quad e_1 \otimes e_1\otimes e^{2\ast} \quad e_1 \otimes e_2\otimes e^{1\ast} \quad e_1 \otimes e_2\otimes e^{2\ast} \dots$，共8个

证明这种方法选出来的的确为基即可，不难推广到一般情形

下面这个定理很重要，以后会不断用到：

定理 （张量展开）
以$V$上的$(2,1)$型张量$T$为例：可以表示为$T = T^{\mu \nu} _ {\phantom{00}\sigma} e _ \mu \otimes e _ \nu \otimes e^{\sigma \ast}$，其中，$T^{\mu \nu} _ {\phantom{00}\sigma} = T(e^{\mu\ast},e^{\nu\ast};e _ {\sigma})$

证明：本身矢量空间$\mathscr{T} _ V(k,l)$里的元素，都能用基成员线性展开，只需证展开系数的确如上所述

证明时，只需把第一个等式左右两边各作用一个对象，如果左右两边的效果相同，那就证毕了

更好的是，由于线性性，仅需验证左右两边作用在基成员上得到相同的值即可

过程很简单，略

缩并

定义 （缩并）
设$T$为一$(k,l)$型张量，则其“第$i$上标与第$j$下标的缩并”定义为：
$$
C^i_j T =T(\underbrace{\dots,e^{\mu\ast}} _ {i} ,\dots;\underbrace{\dots,e_\mu}_{j},\dots)
$$ 其中，$e^{\mu\ast}$与$e_\mu$分别填在第$i$个上槽与第$j$个下槽，因此，$C^i_j :\mathscr{T}_V(k,l)\to\mathscr{T}_V(k-1,l-1) $

缩并是线性算子的迹(Trace)的推广，具有“与基的选取无关”的性质

证明实质和“基变迹不变”的证明完全一样！因为缩并实质只有两个槽进行求和，和矩阵一样（别的槽不重要）

定理 （作用=积并）
用几个实例来说明“作用”就等价于“先张量积再缩并”：

1. $C^1_1 v\otimes \omega = \omega(v) = v(\omega)$

2. 若$T$是$(0,2)$型张量，$C^1_2 (T\otimes v) = T(?,v)$

证明：

首个等式，左侧$C^1_1 v\otimes \omega = v\otimes \omega(e^{\mu\ast}; e_\mu) = v(e^{\mu\ast}) \omega (e_\mu) $，调用定理（张量展开），此即$v^\mu \omega_\mu$；而右侧$\omega(v) = \omega(v^\mu e_\mu)=v^\mu\omega(e_\mu)=v^\mu \omega_\mu$故相等

第二个等式是个$(1,0)$型张量等式，只需验证左右侧作用在同个基矢量上（选$e_\nu$），得到相同的结果即可：左侧$C^1_2 (T\otimes v)(e_\nu) =T\otimes v(e^{\mu\ast};?,e_\mu)(e_\nu) =v(e^{\mu\ast}) T(?,e_\mu)(e_\nu) = v(e^{\mu\ast}) T(e_\nu,e_\mu) = v^\mu T(e_\nu,e_\mu) =T(e_\nu,v^\mu e_\mu)=T(e_\nu,v)$；右边作用$e_\nu$当然与之相等！

$\square$

张量场

定义 （张量场）
在流形$M$的每一点，定义一个$(k,l)$型张量，就得到一个张量场

既然涉及到流形，那就涉及到“同一个量在不同的图中都能表示”的问题，这就引出下面的定理

定理 （张量变换律）
$(k,l)$型张量$T$在两个图中，当然有不同的分量啦！其分量的变换关系符合：
$$
T’^{\mu _ 1,\dots \mu _ k} _ {\phantom{0000000}\nu _ 1,\dots,\nu _ l} = \frac{\partial x’^{\mu _ 1}}{\partial x^{\rho _ 1}} \dots\frac{\partial x’^{\sigma _ l}}{\partial x’^{\nu _ l}} T^{\rho _ 1,\dots \rho _ k} _ {\phantom{0000000}\sigma _ 1,\dots,\sigma _ l}
$$

证明：用抽象指标（往后看）证明比较简单，先写成抽象指标式，然后调用定理（张量展开），分别算出系数，然后对比即可

以$(1,1)$型为例证明：

$T^\rho _ {\phantom{0}\sigma} = T^a _ {\phantom{0}b}(e^\rho) _ a (e _ \sigma) _ b$ 以及 $T’^\mu _ {\phantom{‘\mu}\nu} = T^a _ {\phantom{0}b}(e’^\mu) _ a (e’ _ \nu) _ b$

故$T’^\mu _ {\phantom{‘\mu}\nu} = T^\rho _ {\phantom{0}\sigma} (e _ \rho)^a (e^\sigma) _ b (e’^\mu) _ a (e’ _ \nu) _ b $，其中，$(e _ \rho)^a(e’^\mu) _ a$即$\frac{\partial x’^{\mu}}{\partial x^\rho}$，$(e^\sigma) _ b(e _ \nu)^b$即$\frac{\partial x^\sigma}{\partial x’^\nu}$

$\square$