Real Analysis

Lebesgue测度（MIRA）

核心内容梗概

上一篇中，了解到外测度的缺陷。此外，辛辛苦苦定义了许多抽象结构（描述了理想的测度是什么样的结构）。现在终于是时候来构建一个具体的测度看看了

也就是说，我们给出什么是“好的”集合，然后把外测度限制在这些“好的”集合上，这样就行了!这无伤大雅。因为我们将看到，“不好的”集合都是很变态的，正常人不会遇到

本篇结论：好的集合就是Borel集！（或者Lebesgue可测集合），同时，定义在这些集合上的外测度将成为真正的测度，改名Lebesgue测度

可加性在特殊情况下成立

定理 （有开时，外测度满足有限可加性）
假设无交集合$A,G\subseteq \mathbb{R}$，且$G$是开集，则$\vert A \cup G\vert = \vert A\vert+\vert G\vert$

证明：由于两者之一测度为无穷时，平凡地成立，故只用讨论两者测度均有限。又由于次可加性本来就成立，所以只需证明$\vert A \cup G\vert \geq \vert A\vert+\vert G\vert$

1. 当$G$本身是开区间$(a,b)$时：

• 不妨设$a,b\notin A$（因为我们已知可数个点组成的外测度为零，所以该假设不影响结果），因此任何开区间$I$可以被分为三部分：$(-\infty,a)\cap I$，$(a,b)\cap I$，$(b,\infty)\cap I$

• 根据外测度定义着手证明：先随意找一个开区间序列$I_1,I_2 \dots$覆盖$A\cup G$，因此所有$I_n$均被分为：$J_n = (-\infty,a)\cap I_n$，$K_n(a,b)\cap I_n$，$L_n = (b,\infty)\cap I_n$三部分，有长度关系：$l(I_n) = l(J_n)+l(K_n)+l(L_n)$

• 由于$K_1，K_2\dots$最终覆盖了$G$，而$J_1,L_1,J_2,L_2\dots$最后覆盖了$A$，因此$\sum\limits_{n=1}^\infty l(K_n) \geq \vert G\vert$以及$\sum\limits_{n=1}^\infty l(J_n)+l(L_n) \geq \vert A\vert$

• $\sum\limits_{n=1}^\infty l(I_n) = \sum\limits_{n=1}^\infty l(K_n)+\sum\limits_{n=1}^\infty l(J_n)+l(L_n) \geq\vert G\vert+ \vert A\vert$对于任意的$\set{I_n}_n$都成立，即表明$\vert A \cup G\vert \geq \vert A\vert+\vert G\vert$

2. 当$G$是一般开集时：

• 先将“$G$为一个开区间”的情形推广到“$G$为有限个无交开区间之并”，$\vert A \cup G\vert \geq \vert A\vert+\vert G\vert$仍然成立

• 由于最一般的情况下，开集$G$可表示成可数个无交开区间的并$\bigcup\limits_{n=1}^\infty I_n$，先用一下外测度的“保序性”$\vert A\cup G\vert\geq \vert A \cup \bigcup\limits_{n=1}^m I_n\vert$，再结合刚才那个bullet point中的说明，即知$\vert A \cup \bigcup\limits_{n=1}^m I_n\vert \geq \vert A\vert+\vert\bigcup\limits_{n=1}^m I_n \vert = \vert A\vert+\sum\limits_{n=1}^m l(I_n)$

• 综合一下，即$\vert A\cup G\vert\geq \vert A\vert+\sum\limits_{n=1}^m l(I_n)$对于任何的$m\in\mathbb{Z^+}$均成立，因此：$\vert A\cup G\vert\geq \vert A\vert+\sum\limits_{n=1}^\infty l(I_n) \geq \vert A\vert+\vert G\vert$（最后一步来自外测度定义）

$\square$

利用上述定理，可以再推出平行的结论：

定理 （有闭时，外测度满足有限可加性）
假设无交集合$A,F\subseteq \mathbb{R}$，且$F$是闭集，则$\vert A \cup F\vert = \vert A\vert+\vert F\vert$

Borel集合与闭集的关系

定理 （从内部用闭集逼近Borel集）
假设$B\subset \mathbb{R}$是一个Borel集，对于任何$\varepsilon>0$，均存在一个闭集$\subset B$，满足$\vert B-F\vert<\varepsilon$

证明：用代数方法来帮忙，我们先将“能从内部用闭集逼近”的集合收集起来：$\mathcal{L}=\set{A\subseteq \mathbb{R}:\forall\varepsilon >0, \exists \text{ closed }F \subset A \text{ s.t. }\vert A-F\vert<\varepsilon}$，然后发现这个集合是一个$\sigma$代数（请验证那三条）！之后，由于所有闭集都在$\mathcal{L}$里（显然），所以得知所有开集都在$\mathcal{L}$。因此，$\mathcal{L}$是一个“包含所有开集”的$\sigma$代数，那么Borel集都在$\mathcal{L}$里，证毕

Borel集上的外测度

定理 （有Borel集时，外测度满足可加性）
假设无交集合$A,B\subseteq \mathbb{R}$， 且$B$是Borel集，则$\vert A \cup B\vert = \vert A\vert+\vert B\vert$

结合之前的铺垫，思路显而易见：先找$B$里一个满足$\vert B-F\vert<\varepsilon$的闭集，再使用定理（有闭时，外测度满足有限可加性）,得到$\vert A\cup F\vert = \vert A\vert +\vert F\vert$，因此$\vert A\cup B\vert\geq\vert A\cup F \vert = \vert A\vert +\vert F\vert \geq \vert A\vert +\vert B\vert -\varepsilon$，对任意的$\varepsilon$均成立，故有限时的情形得证

针对可数的情况：一系列Borel集$B_1,B_2\dots$有：$\vert \bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k\vert \geq \vert \bigcup\limits_{k=1}^N B_k \vert = \sum\limits_{k=1}^N \vert B_k\vert$（最后一步来自刚才的有限可加性），这对于任何的$N\in \mathbb{Z^+}$都成立，即表明$\vert \bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k\vert \geq \sum\limits_{k=1}^\infty \vert B_k\vert$

$\square$

定义 （Lebesgue测度1）
至此，我们可以记$\mathcal{B}$为包含所有开集的最小的$\sigma$代数，因此$(\mathbb{R},\mathcal{B})$就是一个可测空间，外测度在其上满足可加性，成为一个真正的测度，称之为Lebesgue测度

Lebesgue可测

定义 （Lebesgue可测集）
一个集合$A\subset \mathbb{R}$被称为Lebesgue可测的，如果它就是Borel集，或者存在一个Borel集$B\subset A$使得$\vert A-B\vert = 0$

验证的确形成一个$\sigma$代数

定理 （Lebesgue可测集的等价定义）
$A\subset \mathbb{R}$，以下几个条件等价：

a) $A$是Lebesgue可测的

b) 对于任意的$\varepsilon>0$，均存在闭集$F \subset A$使得$\vert A-F \vert<\varepsilon$

c) 存在$A$内的闭集$F_1,F_2,\dots$使得$\vert A-\bigcup\limits _ {k=1}^\infty F_k \vert = 0$

d) 对于任意的$\varepsilon>0$，均存在开集$G \supset A$使得$\vert G-A \vert<\varepsilon$

e) 存在包含$A$的开集$G_1,G_2,\dots$使得$\vert \bigcap\limits _ {k=1}^\infty G_k -A\vert = 0$

f) 存在一个Borel集$B\supset A$且$\vert B-A\vert=0$

证明：

先证明a)$\iff$b)$\iff$c)

a) $\Rightarrow$ b) 首先，满足b)条件的所有$\mathbb{R}$中子集收集起来，记为$\mathcal{L}$，它已在定理（从内部用闭集逼近Borel集）的证明中得知，是一个$\sigma$代数，且包含所有的Borel集，也包含所有的外测度为0的集合（用闭集$\varnothing$逼近即可），因此任何和Borel集仅差外测度为零的集合仍然落在这个$\mathcal{L}$中（代数运算下封闭）

b) $\Rightarrow$ c) 假设b)成立，那么对于任何一个$n$都能找到一个$F_n$满足$\vert A-F_n\vert< \frac{1}{n}$，那么$\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n$即为所求

c) $\Rightarrow$ a) 显然，因为刚才的那个$\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n$就是Borel集

再证明b)$\iff$d)$\iff$ e)$\iff$f)

b) $\Rightarrow$ d) 思路也显然是用“补”捣鼓两下：由于$\mathcal{L}$是一个$\sigma$代数，因此在补下封闭，故$\mathbb{R}-A\in\mathcal{L}$，因而，可为它找到其内的一个$F$满足$\vert\mathbb{R}-A-F\vert<\varepsilon$，从而$\mathbb{R}-F$就是所求的开集

d) $\Rightarrow$ e) 和b) $\Rightarrow$ c)完全一样

e) $\Rightarrow$ f) 显然，刚才那个开集可数交就是一个Borel集

f) $\Rightarrow$ b) 由于$A=B\cap (\mathbb{R} -(B-A)) $，第一项$B$是Borel集在$\mathcal{L}$中，又因为$(B-A)$是外测度为零的集合，在$\mathcal{L}$中，因此$\mathbb{R} -(B-A)$也在$\mathcal{L}$中，总之，$A$形如两个$\mathcal{L}$中成员之交，仍在内，得证

$\square$

这个定理很重要！之后会多次调用它

定义 （Lebesgue测度2）
记$\mathcal{L}$为包含所有开集以及外测度为零的集合的最小的$\sigma$代数，$(\mathbb{R},\mathcal{L})$就是一个可测空间，外测度在其上满足可加性，成为一个真正的测度，称之为Lebesgue测度

这里的$\mathcal{L}$就是之前那个，根据定理（Lebesgue可测集的等价定义）知，这些描述方法都是一致的