微分几何入门

微分几何入门

微广 by 梁灿彬

拓扑空间

基本的拓扑知识回忆

定义 拓扑
集合$X$上的拓扑指：有一个其子集构成的集合$\mathscr{T}$，开集就定义为它其中的元素，满足：

1. 空集和$X$本身是开集

2. 开集的有限交仍是开集

3. 开集的任意并仍是开集

我们知道，在一般的拓扑空间中，连续的定义是“开集的逆像仍开”，而在度量空间上这等价于$\epsilon-\delta$的连续定义，梁老画图给出了这一等价性的直观理解（图1-2），很有意思

定义 同胚
两个拓扑空间互相同胚，指的是其之间存在一个双射$f$，且$f$与$f^{-1}$均连续（这个双射也称同胚映射）

两个拓扑空间互相同胚，已经是目前有的结构里的最高配置了，两个拓扑空间“像的不能再像”

定义 连通
称拓扑空间$(X,\mathscr{T})$是连通的，如果仅$\varnothing, X$两者是既开又闭的

拓扑不变性：指在同胚映射下保持不变的性质，比如紧性、连通性、Hausdorff性

微分流形

定义 微分流形
拓扑空间$(X,\mathscr{T})$称为n维微分流形，如果：有开覆盖$X=\bigcup\limits_\alpha O_\alpha$，满足：

1. $\forall \alpha, \exists \psi_\alpha$（同胚映射）$: O_\alpha \to V_\alpha$ 而$V_\alpha$是$\mathbb{R}^n$中的开集

2. 对于$O_\alpha \bigcap O_\beta \not={\varnothing}$，满足$\psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1}$是$C^\infty$无穷可微映射（这里仅讨论光滑流形）

第二条称为相容性条件，很直观

遵循如上记号，我们称$(O_\alpha,\psi_\alpha)$为局域坐标系，或图，因为$\psi_\alpha$把$O_\alpha$中的点映射到一个$n$维欧式空间中，获得了坐标。所有图的都装到一个叫图册的大集合里。

定义 $C^r$映射
$f:M \to M’$是两个流形之间的映射，什么情况下，$f$是$C^r$映射呢？随意取一个$p\in M$，那么选好包含$p$的图$\set{O_\alpha,\psi_\alpha}$，和包含$f(p)$的图$\set{O_\beta’,\psi_\beta’}$后，均有$\psi’_\beta \circ f \circ \psi_\alpha^{-1} \in C^r$

定义 微分同胚
两个流形$M,M’$称为互相微分同胚，如果$\exists f :M\to M’$，且$f$是个双射，且$f$与$f^{-1}$都是$C^\infty$的

定义 标量场
首先有个流形$M$，那么$f:M\to \mathbb{R}$就叫一个$M$上的标量场。若还是$C^\infty$的，那么$f$就叫$M$上的一个光滑标量场。全体$M$上的光滑标量场记为$\mathscr{F}_M$

矢量

定义 矢量/向量
什么是矢量？在点$p\in M$处的矢量是这样一种映射$v :\mathscr{F}_M \to \mathbb{R}$，对于$\forall f,g\in\mathscr{F}_M$，都满足：

1. （线性性） $v(\alpha f +\beta g)= \alpha v(f) +\beta v (g)$

2. （莱布尼兹律） $v(fg) = v(f) g|_p+ f|_p v(g)$

在$p\in M$点处的所有矢量装入集合$V_p$中，按照很自然的方式定义一下矢量加法和数乘，可发现$V_p$符合曾经的矢量空间定义，且该矢量空间维数与流形的维数一样，即$\dim V_p = \dim M =n$

给个具体例子，比如固定了$p$点后，$X_\mu$就是点$p$处的一个向量，它的定义是什么呢？对于一个已知的标量场$f\in\mathscr{F}_M$，选一个图$\set{O,\psi}$，那么$f\circ\psi^{-1}$就是一个很普通的$\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$的函数（高数就学过的那种）记为$F(x^1,x^2\dots,x^n)$，简记为$F(x)$，甚至简记为$f(x)$，那么就有定义式：
$$
X_\mu (f):=\left.\frac{\partial F(x)}{\partial x^\mu}\right|_p=_\text{denoted as} \left.\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu}\right|_p
$$
的确在$p$点处把$f$映成一个实数，且是满足线性性与莱布尼兹律的

注意：我反复强调“在$p$点处”，因为必须指定一个点，谈论矢量这个概念才有意义。比如指定$p$后，$V_p$成为一个矢量空间，两个不同点之间的矢量是不能做加法的……

此外，$X_1,X_2\dots X_n$就构成了$V_p$的基，比如随便来一个$V_p$中的元素$v$，都能用$X_\mu$们展开$v = v(x^\mu) X_\mu$，这里的$v(x^\mu)$就是坐标分量

仔细看看这里的写法，$x^\mu$就是把一个点打到其所在图的某一坐标分量的实值函数，即$x^\mu \in \mathscr{F}_M$，那么$v(x^\mu)$这个写法是有意义的，因为矢量作用的对象就是标量场

定理 坐标分量变换关系
$\set{x^\mu}$与$\set{x’^\nu}$为两个坐标系（图），其中共有一点$p$，$v\in V_p$，且$\set{v^\mu}$与$\set{v’^\nu}$是同个$v$向量在两个系中的分量，则有：
$$
v’^\nu = \left.\frac{\partial x’^\nu}{\partial x^\mu}\right|_p v^\mu
$$

证明：两个坐标系就有两组坐标基矢$\set{X_\mu},\set{X’_\nu}$，作用在$f$这个标量场上，有：
$$
\begin{align*}
X_\mu (f) &= \left.\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu}\right|_p
\newline
\newline
X’_\nu(f) &= \left.\frac{\partial f’(x’)}{\partial x’^\nu}\right|_p
\end{align*}
$$
回忆这里的$f(x)$其实是$F(x^1,x^2\dots,x^n)$的简记，同样的$f’(x’)$其实是$F’(x’^1,x’^2\dots,x’^n)$的简记
现在，由于本身两个坐标系都是$\mathbb{R}^n$里的且需要符合相容性条件，因此可以这样写：$x’^\nu=x’^\nu(x)$，即加撇的某一分量是不加撇的一个n元函数，而且由于$f|_p$的值与坐标的选取无关，有$f(x)=f’(x’)=f’(x’(x))$（请回忆这个$f$其实是$F$），故：
$$
X_\mu (f) = \left.\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu} \right|_p = \left. \frac{\partial f’(x’(x))}{\partial x^\mu} \right|_p=\left. \frac{\partial f’(x’)}{\partial x’^\nu}\frac{\partial x’^\nu}{\partial x^\mu}\right|_p = \left. \frac{\partial x’^\nu}{\partial x^\mu}\right|_p X’_\nu (f)
$$

定义 曲线
设$I$为$\mathbb{R}$的一个区间，则$C^r$类映射$C:I\to M$称为流形$M$上的一个曲线（今后默认光滑，是$C^\infty$类的）

定义 曲线的切矢
设$C(t)$是在微分流形$M$上的一个$C^1$类曲线，则线上的$C(t _ 0)$点的切于$C(t)$的切矢$T$是一个在$C(t _ 0)$点的矢量，它是怎么定义的呢？对于$\forall f\in \mathscr{F} _ M$：
$$
T(f):= \left.\frac{d(f\circ C)}{dt}\right| _ {t _ 0}
$$

注：易证的确是矢量

今后把$T$记为$\left.\frac{\partial }{\partial t}\right| _ {C(t _ 0)}$，更加生动形象地表明的确是个向量。如果参数就是坐标线上的$x^\mu$，那么这切矢不就是坐标基矢之一了嘛！

定理 曲线切矢用坐标基底展开
比如曲线$C(t)$在某个坐标系（图）中的参数写法为$x^\mu = x^\mu(t)$，那么该坐标系（图）内有：
$$
\frac{\partial}{\partial t}=\frac{dx^\mu}{dt} \frac{\partial}{\partial x^\mu}
$$

证明：这式子看上去很熟悉，但其诠释与初等微积分中完全不一样。在这里，左边是一个$C(t_0)$点的矢量，那么自然可以被$V_{C(t_0)}$中的基矢量展开，回忆一下“坐标分量”那里的展开$v = v(x^\mu) X_\mu$，这里无非就是把字母替换掉：
$$
\left.\frac{\partial}{\partial t}\right| _ {C(t _ 0)} =\left.\frac{\partial x^\mu}{\partial t}\right| _ {C(t _ 0)} \cdot\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left.\frac{d x^\mu}{d t}\right| _ {C(t _ 0)} \cdot\frac{\partial}{\partial x^\mu}
$$
当然$t_0$是可以任意取的，因此不用写$| _ {C(t _ 0)}$了

如果$M$上的没一点都定义有一个矢量，那么就得到一个矢量场，矢量场能把某一个标量场变为另外一个标量场

矢量场也可以定义光滑与否，$C^r$类的矢量场的定义就是：作用于$C^\infty$类的标量场后能得到$C^r$类标量场（今后简单起见都默光滑）

定义 积分曲线
有一个$M$上的光滑矢量场$v$，则积分曲线是这样一条曲线，其上每一点处的曲线切矢都等于矢量场在该点的取值