Real Analysis

测度空间（MIRA）

回顾与铺垫

常用技术回顾： （逆像的优秀性质）

1. $f^{-1}(\bigcap A_\alpha)=\bigcap f^{-1}(A_\alpha)$，$f^{-1}(\bigcup A_\alpha)=\bigcup f^{-1}(A_\alpha)$

2. 对于$f:X\to Y$，$f^{-1}(Y-A)=X-f^{-1}(A)$

3. $(f\circ g)^{-1}(A)=g^{-1}(f^{-1}(A))$

4. $p^{-1}(p(A))\supset A$，当单射时取等

5. $p(p^{-1}(A))\subset A$，当满射时取等

拓扑回顾：（关于$\mathbb{R}$上拓扑的陈述）
我们以后取$\mathbb{R}$上的拓扑就是由通常的序拓扑规定的（或由度量拓扑也一样），这样的话，一切“开集”、“闭集”都和我们旧的认知相符合

此外，我们熟知的结论有，$\mathbb{R}$上的任何开集都可以表示成可数个开区间之并（可见Stein或者MIRA补充材料0.59），这得益于实轴上的通常拓扑具有第二可数性公理！

回顾“生成”的概念，由…生成的xx结构，指的就是含有…的、最小的xx结构

测度前传

先来讲讲外测度，首先在$\mathbb{R}$的开区间上定义一个取值为广义实数的映射—长度（length）：若$I=(a,b)$，则
$$
l(I):=\begin{cases}
b-a & a,b\in \mathbb{R} \\
0 & I=\varnothing \\
\infty & \text{else} \\
\end{cases}
$$

定义 （outer measure）
任一集合$A\subseteq \mathbb{R}$，其外测度定义为：
$$
|A|=\inf \set{\sum_{k=1}^\infty l(I_k) : I_1,I_2 \dots \text{are open intervals such that }A\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k }
$$

用几何级数求和的方法，可证明可数集合的外测度都是$0$

外测度有很好的性质：保序（取序关系为集合包含关系）、平移不变、可数次可加性……而且在开/闭区间的外测度都和直观上的长度概念一致。但是，唯独不满足（可数）可加性，其中一个来搅局的反例就是Vitali集合（没错，它的构造要用选择公理）

但是，也不能责怪外测度这个定义还不够好，因为可以证明，一个定义在$\mathbb{R}$的全体子集上的非负实值函数，是不可能同时满足所有这些性质的，实在令人悲伤

不忍心抛弃外测度这个还不错的东西呀！我们不如掩耳盗铃，直接把那些“不好的”集合无视掉，把定义域限制在“好的”集合上，这样不就可以了？emmm，这是一条未曾设想的道路，好像有点道理……等等，谁是“好的”谁又是“不好的”呢？接下来又得处理好这件事……

以上就是整体的思路流，实分析的前几篇，将沿着这个思路发展

本篇核心内容梗概

本篇将给出一些抽象的结构，以描述“真正的”测度是什么样的。本篇中，以下所有内容都是抽象的描述，和外测度这种具体的东西没有任何关系！

可测空间

定义 （$\sigma$ Algebra）
集合$X$的子集族$\mathcal{S}$，满足以下三条性质，则被称为$\sigma$代数

1. $\varnothing\in \mathcal{S}$

2. 若$A\in\mathcal{S}$，则$X-A\in\mathcal{S}$

3. 若$A_i\in \mathcal{S},i=1,2\dots $，则$\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{S}$

定义 （Measurable Set & Measurable Space）
集合$X$上定义了$\sigma$代数$\mathcal{S}$后，$\mathcal{S}$中的成员就叫可测集合，定义了这个结构的集合$X$，常记为$(X,\mathcal{S})$，就被称为可测空间

显然的，$\sigma$代数中，含有全集$X$（结合1和2），而且易得，在有限并下也封闭（第3条后面的全取$\varnothing$即可），又易得，在可数交下封闭（结合2和3），同理，在有限交下封闭，在此基础上易知，在“集合的差”下封闭（利用“有限交下封闭”和2）……这些简单的性质就过一下，不赘述了

Borel集合与可测函数

两者的定义

定义 （Borel Set）
在$\mathbb{R}$上，所有$\mathbb{R}$中开集生成的$\sigma$代数，其中的成员就称为Borel集

定义 （Measurable Function）
假设$(X,\mathcal{S})$是可测空间，则一个函数$f:X\to \mathbb{R}$，如果符合$f^{-1}(B)\in \mathcal{S}$对于任何的$\mathbb{R}$上的Borel集$B$都成立，则称$f$是$\mathcal{S}$-Measurable Function

当然，特征函数$\chi_E$满足：它是可测函数，当且仅当集合$E$是可测集合。原因在于，其取值就是0或1，因此随便来一个$\mathbb{R}$的子集，在其下的逆像都很简单（就四种情况），都是$\sigma$代数$\mathcal{S}$中的成员

定理 （可测函数的等价条件）
假设$(X,\mathcal{S})$是可测空间，一个函数$f$是measurable的，等价于$f^{-1}((a,\infty))\in\mathcal{S}$对于所有的$a\in \mathbb{R}$成立

证明：

1. 如果$f$真是measurable的，那当然$(a,\infty)$的逆像在$\sigma$代数里，因此只用证另一个方面。

2. 另一个方面：若已满足$f^{-1}((a,\infty))$都在$\sigma$代数里（对所有$a$成立），下欲证任何一个Borel集，其在$f$下的逆像都在$\sigma$代数里。我们可以逐步简化这个原问题，直到变成一个小菜一碟的问题为止：

• 换一下视角，把“在$f$下的逆像落在$\sigma$代数里”的那些集合都收集起来：$\mathcal{T}=\set{A\subseteq \mathbb{R}:f^{-1}(A)\in\mathcal{S}}$，下面只用证明所有的Borel集都落在这个$\mathcal{T}$里头就行了！

• 用一下“逆像的优秀性质”很容易发现，集合$\mathcal{T}$含有$\varnothing$、在作差下封闭、在可数并下封闭，故$\mathcal{T}$其实是个$\sigma$代数！

• 既然Borel集，指的就是“含有开集的最小$\sigma$代数”里的元素，那么，作为$\sigma$代数的$\mathcal{T}$，假如包含所有的开集，那么也一定包含所有Borel集！所以，下面只用证明所有的开集都在$\mathcal{T}$里就行啦

• 回顾一下实轴的拓扑，满足第二可数性公理，因此，所有的开集都是基元素的可数并，而可数并在$\sigma$代数里是封闭的！这进一步简化了问题：只用证明所有的基元素都在$\mathcal{T}$里就行！

• 证明基元素都在$\mathcal{T}$里，只用证$(a,b)$在$\mathcal{T}$里：由于$(a,\infty)$和$(b,\infty)$都在里面（根据假设），而$(a,b)=(a,\infty)-(b,\infty)$，$\mathcal{T}$作为一个$\sigma$代数，关于差也是封闭的，因此$(a,b)$也在里面

$\square$

荡开一笔—Borel可测

定义 （Borel Measurable Function）
假设此时，$X\subseteq \mathbb{R}$，那么$f:X\to \mathbb{R}$，如果满足：对所有$\mathbb{R}$中的Borel集合$B$，都有$f^{-1}(B)$也是Borel集，则$f$被称为是一个Borel可测的函数

根据这个定义就知道，如果$X\subseteq \mathbb{R}$与$\mathbb{R}$之间有一个Borel可测的函数，那么，$X$自己一定是一个Borel集合（因为$X = f^{-1}(\mathbb{R})$）。这即是说，若连$X$自己都不是Borel集合的话，想构造Borel可测的函数直接免谈！

根据这个定义，如果$X\subseteq \mathbb{R}$并且$f:X\to\mathbb{R}$，那么$f$是Borel可测的函数，当且仅当$f^{-1}((a,\infty))$都是Borel可测的集合，这点是定理（可测函数的等价条件）的一个特例

定理 （连续函数是Borel可测的）
假设$X\subseteq \mathbb{R}$且是一个Borel集，那么，如果$f:X\to\mathbb{R}$是连续的，它必是Borel可测的

由于定理（可测函数的等价条件），只用验证$f^{-1}((a,\infty))$是一个Borel集即可，下面给出一个（不同于书本的）拓扑风格的证明：

连续函数下，开集的逆像仍开，因此这是一个开集，而这个“开”是在$X$中开（即在子空间拓扑意义下的开集），因此可写为$f^{-1}((a,\infty)) = X\cap V$，其中$V$是$\mathbb{R}$上的开集，别忘了$X$本身也是Borel集，故$X\cap V$就是两个Borel集合之并，仍然是Borel集，验证完毕。

可测函数的代数性质

定理 （可测函数复合仍可测）
$(X,\mathcal{S})$是一个可测空间，而$f: X\to \mathbb{R}$是可测函数，$g:Y\to\mathbb{R}$则是一个Borel可测的函数，且$Y\supset f(X)$，则$g\circ f$是一个可测函数

证明：用一下逆像的优良性质即可

这个定理的推论就包括：若$f$是可测函数，那么$-f,\frac{1}{2}f,|f|,f^2$全是可测的！

可测函数的分析性质

定理 （可测函数的极限仍可测）
可测空间$(X,\mathcal{S})$上定义的可测函数列$f_1,f_2 … :X\to \mathbb{R}$，若其逐点极限存在$\lim\limits_{k \to \infty} f_k(x)=f(x)$，则这样定义的$f:X\to \mathbb{R}$也是可测函数

证明：使用定理（可测函数的等价条件），可知只需验证$f^{-1}((a,\infty))\in \mathcal{S}$即可，而它又可以被表示成（验证双向包含）：
$$
f^{-1}((a,\infty)) = \bigcup_{j=1}^\infty \bigcup_{m=1}^\infty \bigcap_{k=m}^\infty f_k^{-1}((a+\frac{1}{j},\infty))
$$
而$f_k^{-1}((a+\frac{1}{j},\infty))$根据定理（可测函数的等价条件）确是在$\mathcal{S}$中的，因此在$\sigma$代数中进行可数交、并后，仍然在内
$\square$

荡开一笔—扩展到广义实数系

当扩展到广义实数系上后，Borel集合的定义更改为：一个集合$B$是$[-\infty,\infty]$上的Borel集合，当且仅当其与$\mathbb{R}$的交集，是$\mathbb{R}$上的Borel集合

然后，可测函数的定义依旧（只不过Borel集合已经不再是原来的那个定义而已），可以同样得到定理（可测函数的等价条件）：$f$可测当且仅当$f^{-1}((a,\infty])\in\mathcal{S}$均成立……不过这个证明略复杂些

然后，就得到和“可测函数的极限仍然可测”类似的结论：

定理 （可测函数的上下极限仍可测）
可测空间$(X,\mathcal{S})$上定义的可测函数列$f_1,f_2 … :X\to [-\infty,\infty]$，则：
$g(x)=\inf\set{f_k(x):k\in \mathbb{Z^+}}$以及$h(x)=\sup\set{f_k(x):k\in \mathbb{Z^+}}$均是可测函数

证明：核心在于：$h^{-1}((a,\infty]) = \bigcup\limits_{k=1}^\infty f_k^{-1}((a,\infty])$，这样，supremum是可测的就证出来了

此外，由于infimum直接可以由supremum表示：$g(x) = -\sup\set{-f(x):k\in \mathbb{Z^+}}$，调用supremum的结论即得证

测度

测度的定义

定义 （Measure）
可测空间$(X,\mathcal{S})$的基础上，定义函数$\mu: \mathcal{S}\to [0,\infty]$，满足：$\mu(\varnothing) = 0$以及
$$
\mu(\bigcup_{k=1}^\infty E_k) = \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k)
$$
对于无交的可测集合$E_1,E_2\dots$均成立。这个$\mu$就称为测度

定义 （Measure Space）
$X$上定义了一个$\sigma$代数$\mathcal{S}$，得到可测空间$(X,\mathcal{S})$，然后在该可测空间上定义测度$\mu$，最后的这个结构$(X,\mathcal{S},\mu)$就称为测度空间

显然，有这些性质：

• 把测度定义式中的$\infty$符号全部换为有限值时，也成立（只用后面补空集就行）

• “保序性”，即，对于两个可测的集合，若满足$A\subseteq B$，则$\mu(A)\leq \mu(B)$（先用“差分”，得到无交集合，再用定义即可）

• 对于两个可测的集合，若满足$A\subseteq B$且$\mu(A)<\infty$，则$\mu(B-A) = \mu(B) - \mu(A)$

• 可数次可加性：对于$E_1,E_2,\dots\in \mathcal{S}$ ，$\mu(\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k) \leq \sum\limits_{k=1}^\infty \mu(E_k)$

• “容斥原理”：对于两个可测的集合，若满足$\mu(A\cap B)<\infty$，则$\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)$

测度的分析学性质

定理 （递增集合的测度极限）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$上，“递增”的可测集合序列$E_1\subset E_2\subset \cdots$，则：
$$
\mu(\bigcup_{k=1}^\infty E_k) = \lim\limits_{j\to\infty} \mu(E_j)
$$

证明：若任何一个$E_j$满足$\mu(E_j) = \infty$，那么平凡地成立。否则，记$E_0 = \varnothing$，然后使用“差分方法”如下：

$\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k = \bigcup\limits_{k=1}^\infty (E_k-E_{k-1})$因此$\mu(\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k) = \sum\limits_{k=1}^\infty \mu(E_k-E_{k-1})=\lim\limits_{m\to\infty}\sum\limits_{k=1}^ m \mu(E_k-E_{k-1})=\lim\limits_{m\to\infty}\mu(E_k)$ 最后一步来自展开裂项

定理 （递减集合的测度极限）
测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$上，“递减”的可测集合序列$E_1\supset E_2\supset \cdots$，且$\mu(E_1)<\infty$，则：
$$
\mu(\bigcap_{k=1}^\infty E_k) = \lim\limits_{j\to\infty} \mu(E_j)
$$

使用上面的结论以及De Morgan律：

$E_1 - \bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k=\bigcup\limits_{k=1}^\infty (E_1-E_k)$，而恰好这$E_1-E_k$是个递增列，因此$\mu(E_1 - \bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k) = \lim\limits_{k\to\infty}\mu(E_1-E_k)$ （注意，都为有限值）

此即$\mu(E_1) - \mu(\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k) = \mu(E_1) - \lim\limits_{k\to\infty} \mu(E_k)$，左右各消去$\mu(E_1)$即可

$\square$