Real Analysis微分（MIRA）本篇核心内容梗概首先介绍Hardy-Littlewood极大不等式，不过，为此需介绍一些前置的概念，包括$\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$相关的内容。其中，定理（连续函数逼近$\mathcal{L}^1(\mu)$成员）的证明又需要阶梯函数相关的很多结论，为不影响主线，暂略 在Hardy-Littlewood极大不等式以及（曾经接...

Real Analysis积分（MIRA）本篇核心内容梗概快速过一遍积分的基本概念，包括： 定义的建立 基本性质的导出 定义的扩展 然后开始讨论积分与极限的关系： 积分的分析性质 本篇将以“控制收敛定理”结尾 定义建立定义 （$\mathcal{S}$分拆）$(X,\mathcal{S})$是一个可测空间，$\mathcal{S}$分拆，指的就是一个有限的、成员互相无交的集族$...

Real AnalysisLuzin的博士论文指导老师正是Egorov 可测函数收敛专题（MIRA）本篇核心内容梗概两个定理—Egorov定理和Luzin定理 Egorov定理 引入动机：早在数学分析课程中学习函数项级数时，我们就发现很多函数序列不是一致收敛的。但是，往往抠掉一个很小的区间，在剩下的集合上就能够一致收敛了，这不禁引人深思……也许，Egorov就是其中一位思考者 我们即将看...

Real AnalysisLebesgue的博士论文指导老师正是Borel Lebesgue测度（MIRA）核心内容梗概上一篇中，了解到外测度的缺陷。此外，辛辛苦苦定义了许多抽象结构（描述了理想的测度是什么样的结构）。现在终于是时候来构建一个具体的测度看看了 也就是说，我们给出什么是“好的”集合，然后把外测度限制在这些“好的”集合上，这样就行了!这无伤大雅。因为我们将看到，“不好的”集合都...

Real Analysis测度空间（MIRA）回顾与铺垫常用技术回顾： （逆像的优秀性质） $f^{-1}(\bigcap A_\alpha)=\bigcap f^{-1}(A_\alpha)$，$f^{-1}(\bigcup A_\alpha)=\bigcup f^{-1}(A_\alpha)$ 对于$f:X\to Y$，$f^{-1}(Y-A)=X-f^...